在SCIKIT中做PCA 逆变换 -- 新旧特征转换

PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。

在Scikit中运用PCA很简单：

import numpy as np
from sklearn import decomposition
from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

pca = decomposition.PCA(n_components=3)
pca.fit(X)
X = pca.transform(X)

以上代码是将含有4个特征的数据经过PCA压缩为3个特征。PCA的压缩由如下特点：

• 新的3个特征并不是随便删除一个特征后留下的，而是4个特征的线性组合。
• 新的3个特征保留了原有4个特征的绝大部分信息，换句话说就是略有损失。

那么PCA的损失到底是什么? 新特征能否转回旧特征？

这要从PCA过程说起，我把过程缩减如下，毕竟本文重点不是说PCA过程： 

PCA过程

1.均值化矩阵X

2.通过一系列矩阵运算得出  特征矩阵P

3.矩阵运算 Y = P * X

Y 即为原始数据降维后的结果，也就是说，得到矩阵P后，我们还可以通过Y=P * X这个算式， 反推回X：

 Y = P * X ==>   P(-1) * Y = P(-1) * P * X,  P（-1）是P的逆矩阵, 即 P(-1) * P = 1

                ==>   P(-1) * Y = X

需要注意的是，程序一开始就已经将原始数据均值化，所以实际上， P(-1)*Y的结果需要去均值化才是原来的样子

在Scikit中，pca.components_就是P的逆矩阵.  从源代码就可以看出（行号33）

   def transform(self, X, y=None):
        """Apply dimensionality reduction to X.

        X is projected on the first principal components previously extracted
        from a training set.

        Parameters
        ----------
        X : array-like, shape (n_samples, n_features)
            New data, where n_samples is the number of samples
            and n_features is the number of features.

        Returns
        -------
        X_new : array-like, shape (n_samples, n_components)

        Examples
        --------

        >>> import numpy as np
        >>> from sklearn.decomposition import IncrementalPCA
        >>> X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
        >>> ipca = IncrementalPCA(n_components=2, batch_size=3)
        >>> ipca.fit(X)
        IncrementalPCA(batch_size=3, copy=True, n_components=2, whiten=False)
        >>> ipca.transform(X) # doctest: +SKIP
        """
        check_is_fitted(self, ['mean_', 'components_'], all_or_any=all)
        print self.mean_
        X = check_array(X)
        if self.mean_ is not None:
            X = X - self.mean_
        X_transformed = fast_dot(X, self.components_.T)
        if self.whiten:
            X_transformed /= np.sqrt(self.explained_variance_)
        return X_transformed

回到开头的压缩代码增加一些输出语句：

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

print X[0]
pca = decomposition.PCA(n_components=3)
pca.fit(X)
X = pca.transform(X)

a = np.matrix(X)
b = np.matrix(pca.components_)
c = a * b
mean_of_data = np.matrix([5.84333333, 3.054,       3.75866667,  1.19866667])

print c[0]
print c[0] + mean_of_data

程序打印出原始数据中的第一行，然后将降维后的数据乘上特征矩阵的逆矩阵，加上均值还原回原来的4特征。

输出如下：

[ 5.1  3.5  1.4  0.2]

[[-0.74365254  0.44632609 -2.35818399 -0.99942241]]

[[ 5.09968079  3.50032609  1.40048268  0.19924426]]

由此可看， 经还原后的特征值（行号5）和原来（行号1）相比，每一个特征都略有变化。

如果维度不降，我们可以再看看结果

pca = decomposition.PCA(n_components=4)
pca.fit(X)
X = pca.transform(X)

a = np.matrix(X)
b = np.matrix(pca.components_)
c = a * b
mean_of_data = np.matrix([5.84333333, 3.054,       3.75866667,  1.19866667])

print c[0]
print c[0] + mean_of_data

完美还原：

[ 5.1  3.5  1.4  0.2]

[[-0.74333333  0.446      -2.35866667 -0.99866667]]

[[ 5.1  3.5  1.4  0.2]]