• 带花树学习笔记


    带花树是一种用于解决一般图最大匹配的算法(不是数据结构)

    一般图与二分图最大的不同是一般图中存在奇环,所以不能和二分图一样的随便找到一条交错路就增广。

    带花树的做法是把奇环缩起来(开花),让环上的点找到一个增广路之后能沿着正确的方向往回退,除此之外在思路上与匈牙利差不多。

    具体看代码的注释

    #include<cstdio>
    #include<queue>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    namespace Patchouli{
      const int N=514,M=310000;
      int n,m;
      int head[N],ver[M],next[M],tot,num;
      int match[N],pre[N],vis[N],f[N],time[N];
      queue<int>q;
      inline void add(int x,int y){
        next[++tot]=head[x],head[x]=tot,ver[tot]=y;
        next[++tot]=head[y],head[y]=tot,ver[tot]=x;
      }
      //并查集
      int get(int x){
        return x==f[x]?x:f[x]=get(f[x]);
      }
      inline int read(){
        int a=1,b=0;char t;
        do{t=getchar();if(t=='-')a=-1;}while(t>'9'||t<'0');
        do{b=b*10-'0'+t;t=getchar();}while(t>='0'&&t<='9');
        return a*b;
      }
      //在BFS树上找LCA,这个是最暴力的方法,可以记录一下depth让跳的合理一点(不过不影响最后的复杂度)
      //这个time只是一个不用清空的vis数组
      inline int LCA(int x,int y){
        ++num;
        //轮流随便跳
        //这里的x和y一定是黑点,模拟BFS的过程往回跳
        //因为BFS是一次走两步的,所以lca也一定是一个黑点
        while(true){
          if(x){
    	x=get(x);
    	if(time[x]==num)return x;
    	else time[x]=num,x=pre[match[x]];
          }
          swap(x,y);
        }
      }
      //开花
      //奥妙重重的变换
      //因为BFS是两步两步进行处理的,所以两个点同时跳
      //x一直是原来的黑点,y除了第一个都是原来的白点
      //原来只有白点会记录pre,现在黑点也可以记录pre,只是记录的pre是方向的(BFS树环上的儿子)
      //原来的白点被标记为黑点,也和黑点一样进行扩展
      //如果是被原来的白点扩展出来的增广路,会通过另一个方向进行取反
      inline void blossom(int x,int y,int z){
        while(get(x)^z){
          pre[x]=y;y=match[x];
          if(vis[y]==2)vis[y]=1,q.push(y);
          f[x]=z,f[y]=z;
          x=pre[y];
        }
      }
      //pre表示在BFS树上的祖先
      //match表示匹配的点
      //vis是染色的状态,约定0为无色,1为黑色,2为白色,最开始增广的点是黑点
      //只有黑点会进入队列,枚举出边
      inline int BFS(int s){
        //清空数组
        while(q.size())
          q.pop();
        for(int i=1;i<=n;++i)
          vis[i]=pre[i]=0,f[i]=i;
    
        //初始点为黑点,加入队列
        q.push(s);vis[s]=1;
        //BFS
        while(q.size()){
          int x=q.front();
          q.pop();
          //枚举x的出边
          for(int i=head[x];i;i=next[i]){
    	int y=ver[i];
    	//像匈牙利一样,走一条非匹配边走一条匹配边,所以如果这条已经是匹配边就不用走了(不加也不会出问题,因为就算把已经匹配的点加入队列,下一步就走不了了)
    	if(match[y]==x)continue;
    	//如果两个点被缩在一起了,或是另外一个点已经被标记为白点了(这表示它增广过了),continue
    	if(get(x)==get(y)||vis[y]==2)continue;
    	//如果这个点没有被染色,那么将它染为白色  
    	if(!vis[y]){
    	  vis[y]=2;
    	  //记录父亲
    	  pre[y]=x;
    	  //如果y没有匹配,那么就已经可以增广了
    	  if(!match[y]){
    	    //沿途取反,同匈牙利
    	    for(int o=y,last;o;o=last)
    	      last=match[pre[o]],match[o]=pre[o],match[pre[o]]=o;
    	    return 1;
    	  }
    	  vis[match[y]]=1,q.push(match[y]);
    	}
    	else {
    	  //否则一定是一个黑点,因为当前点就是一个黑点,所以出现了奇环,进行开花
    	  int z=LCA(x,y);
    	  blossom(x,y,z);
    	  blossom(y,x,z);
    	}
          }
        }
        return 0;
      }
      int QAQ(){
        //读入
        n=read(),m=read();
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;++i)
          add(read(),read());
    
        //和匈牙利差不多,如果一个点没有匹配就试图给它增广
        for(int i=1;i<=n;++i)
          if(!match[i])
    	ans+=BFS(i);
    
        //输出答案
        printf("%d
    ",ans);
        for(int i=1;i<=n;++i)
          printf("%d ",match[i]);
        putchar('
    ');
        return false;
      }
    }
    int main(){
      return Patchouli::QAQ();
    }
    
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