主席树

目录：

• 个人理解
• 时空复杂度分析
• 应用及例题
• 拓展

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一、个人理解：

主席树的全称是可持续化权值线段树，是一种可以维护静态区间第K小的高级数据结构。

主席树的主要思想就是：保存每次插入操作时的历史版本，以便查询区间第 (k) 小。

因为主席树每次都要插入操作，所以是不能用堆式建树的（rt<<1 ,rt<<1|1），所以我们使用动态开点线段树，并用ls[]和rs[]保存当前节点的左右儿子。

联系前缀和，可以预处理达到 (O(1)) 的时间复杂度。我们发现主席树也满足这个性质，所以若需要统计 ([l,r]) 的信息，只需要 (O(1)) 查询sum[r]-sum[l-1]即可。

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二、时空复杂度分析：

1. 时间复杂度：

   同线段树的时间复杂度：(O(n ext{log}n))

2. 空间复杂度：

   我们是动态开点，所以一颗线段树只会出现 $2n-1$ 个节点，而每次插入会增加 (O(n ext{log}n)) 个节点，则最坏情况下会有 $2n-1+O(n extn)$ 个节点。故空间复杂度为：(O(n ext{log}n)) 。

   在实际运用的时候，ls[],rs[],sum[]等数组都需要开 $2^5$ 倍空间，即MAXN<<5(MAXN为 (n) 的值域)。

   注：在常数上减小内存消耗：

   插入值时候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要访问子节点时候再建下去。

   这样理论内存复杂度依然是$O(n extn)$，但因为实际上很多结点在查询时候根本没用到，所以内存能少用一些。

   ————cyendra

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三、应用及例题：

1. 静态区间第K小(P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）)

   Description:

   给定数列 ({a_n}) ,求闭区间 ([l,r]) 的第 (k) 小的数。

   Method:

   先对数据进行离散化，然后按照权值建立线段树。

   若要寻找 ([1,p]) 的第 (k) 小，则从根节点开始处理。定义$Son_$ 表示左儿子的集合，(Son_{right}) 表示右儿子的集合。若 (|Son_{left}|ge k) 时，说明第$k$小的数在左子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 (k) 小的数；反之，说明第$k$小的数在右子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 (k-|Son_{left}|) 小的数。

   拓展一下，我们先预处理建树，得到 (n+1) 个版本的线段树（包括初始的线段树），编号为 $0 sim n$ 。

   前文提到过，主席树满足前缀和查询的思想，故我们要求 ([l,r]) 的第 (k) 小值，即可用sum[r]-sum[l-1]。

   Code:

   #include<bits/stdc++.h>
   #define int long long 
   #define Maxn 200010
   using namespace std;
   inline void read(int &x)
   {
       int f=1;x=0;char s=getchar();
       while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
       while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
       x*=f;
   }
   int n,m;
   struct Segtree
   {
    int ls,rs,sum;
   }tree[Maxn<<5];
   int rt[Maxn];
   int a[Maxn],ins[Maxn]; 
   int len,tot=0;
   inline void Init(){tot=0;}
   inline int getid(const int &x)
   {
    return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins;
   }
   inline void pushup(int rt)
   {
    tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
   }
   inline int build(int l,int r)
   {
    int rt=++tot;
    if(l==r) 
    {
    	tree[rt].sum=0;
    	return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    tree[rt].ls=build(l,mid);
    tree[rt].rs=build(mid+1,r);
    pushup(rt);
    return rt;
   }
   int update(int k,int l,int r,int root,int val)
   {
    int rt=++tot;
    tree[rt]=tree[root];
    if(l==k&&r==k)
    {
    	tree[rt].sum+=val;
    	return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
    else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
    pushup(rt);
    return rt;
   }
   int query(int u,int v,int l,int r,int k)
   {
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2,x=tree[tree[v].ls].sum-tree[tree[u].ls].sum;
    if(k<=x) return query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k);
    else return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k-x);
   }
   signed main()
   {
    Init();
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	read(a[i]);
    }
    memcpy(ins,a,sizeof(ins));
    sort(ins+1,ins+n+1);
    len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1;
    rt[0]=build(1,len);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1],1);
    }
    while(m--)
    {
    	int l,r,k;
    	read(l),read(r),read(k);
    	printf("%lld
   ",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]);
    }
    return 0;
   }
   

   Warning:

   • ls[],rs[],sum[]等数组都要乘上 $2^5$ 。
   • 离散化取lower_bound时，是最后减去0开头的地址，而不是1开头的地址。（即是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins，而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1）
   • 查询时递归右子树时查找第 (k-|Son_{left}|) 小，而不是 (k) 小。

2. 静态区间互异的个数（SP3267 DQUERY - D-query）

   Description:

   给定数列 ({a_n}) ,求闭区间 ([l,r]) 的互异的个数。

   Method:

   扫描序列建立可持续化线段树，若此元素是第一次出现，就将对应的线段树中的位置加1；反之，就将上一个出现的元素对应的线段树中的位置减1，将此元素对应的线段树中的位置加1。

   对于查询的 ([l,r]) ，在第 (r) 个版本的线段树上查询位置 (l) ,对经过的区间中的和累加一下即可。

   Code:

   #include<bits/stdc++.h>
   #define int long long 
   #define Maxn 30010
   using namespace std;
   inline void read(int &x)
   {
       int f=1;x=0;char s=getchar();
       while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
       while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
       x*=f;
   }
   int n,q;
   int a[Maxn]; 
   int tot=0;
   struct Segtree
   {
    int ls,rs,sum;
   }tree[Maxn<<5];
   int rt[Maxn];
   inline void Init(){tot=0;}
   inline void pushup(int rt)
   {
    tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
   }
   inline int build(int l,int r)
   {
    int rt=++tot;
    if(l==r) 
    {
    	tree[rt].sum=0;
    	return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    tree[rt].ls=build(l,mid);
    tree[rt].rs=build(mid+1,r);
    pushup(rt);
    return rt;
   }
   int update(int k,int l,int r,int root,int val)
   {
    int rt=++tot;
    tree[rt]=tree[root];
    if(l==k&&r==k)
    {
    	tree[rt].sum+=val;
    	return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
    else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
    pushup(rt);
    return rt;
   }
   int query(int l,int r,int rt,int pos)
   {
    if(l==r) return tree[rt].sum;
    int mid=(l+r)/2;
    if(pos<=mid) return tree[tree[rt].rs].sum+query(l,mid,tree[rt].ls,pos);
    else return query(mid+1,r,tree[rt].rs,pos);
   }
   map<int,int>mp;
   signed main()
   {
    Init();
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	read(a[i]);
    }
    rt[0]=build(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	if(mp.find(a[i])==mp.end())
    	{
    		mp[a[i]]=i;
    		rt[i]=update(i,1,n,rt[i-1],1);	
    	}else
    	{
    		int tmprt=update(mp[a[i]],1,n,rt[i-1],-1);
    		rt[i]=update(i,1,n,tmprt,1);
    	}
    	mp[a[i]]=i;
    }
    read(q);
    while(q--)
    {
    	int l,r;
    	read(l),read(r);
    	int ans=query(1,n,rt[r],l);
    	printf("%lld
   ",ans);
    } 
    return 0;
   }
   

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四、扩展

1. 动态区间第K小

   Description:

   给定数列 ({a_n}) ，支持两种操作：

   • 将 (pos) 位置的值改为 (p) ；
   • 查询闭区间 ([l,r]) 的第 (k) 小值。

   Mothod：

   考虑树套树（树状数组套主席树）

   咕咕咕……