一、简介
PCA（Principal Components Analysis）即主成分分析，是图像处理中经常用到的降维方法，大家知道，我们在处理有关数字图像处理方面的问题时，比如经常用的图像的查询问题，在一个几万或者几百万甚至更大的数据库中查询一幅相近的图像。这时，我们通常的方法是对图像库中的图片提取响应的特征，如颜色，纹理，sift，surf，vlad等等特征，然后将其保存，建立响应的数据索引，然后对要查询的图像提取相应的特征，与数据库中的图像特征对比，找出与之最近的图片。这里，如果我们为了提高查询的准确率，通常会提取一些较为复杂的特征，如sift，surf等，一幅图像有很多个这种特征点，每个特征点又有一个相应的描述该特征点的128维的向量，设想如果一幅图像有300个这种特征点，那么该幅图像就有300*vector（128维）个，如果我们数据库中有一百万张图片，这个存储量是相当大的，建立索引也很耗时，如果我们对每个向量进行PCA处理，将其降维为64维，是不是很节约存储空间啊？对于学习图像处理的人来说，都知道PCA是降维的，但是，很多人不知道具体的原理，为此，我写这篇文章，来详细阐述一下PCA及其具体计算过程：
二、PCA原理
1、原始数据：
为了方便，我们假定数据是二维的，借助网络上的一组数据，如下：
x=[2.5, 0.5, 2.2, 1.9, 3.1, 2.3, 2, 1,1.5, 1.1]T
y=[2.4, 0.7, 2.9, 2.2, 3.0, 2.7, 1.6, 1.1, 1.6, 0.9]T
2、计算协方差矩阵
什么是协方差矩阵？相信看这篇文章的人都学过数理统计，一些基本的常识都知道，但是，也许你很长时间不看了，都忘差不多了，为了方便大家更好的理解，这里先简单的回顾一下数理统计的相关知识，当然如果你知道协方差矩阵的求法你可以跳过这里。
（1）协方差矩阵：
首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出数理统计中的一些相关概念：
均值：
标准差：
方差：
既然我们都有这么多描述数据之间关系的统计量，为什么我们还要用协方差呢？我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解这几科成绩之间的关系，这时，我们就要用协方差，协方差就是一种用来度量两个随机变量关系的统计量，其定义为：
从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：
需要注意的是，协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算CN2【此乃组合数基本公式】个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义：
这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个简单的三维的例子，假设数据集有三个维度{x,y,z}，则协方差矩阵为
可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。
（2）协方差矩阵的求法：
协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。下面我们将在matlab中用一个例子进行详细说明：
首先，随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数。
- MySample = fix(rand(10,3)*50)
根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值：
dim1 = MySample(:,1); dim2 = MySample(:,2); dim3 = MySample(:,3); %计算dim1与dim2，dim1与dim3，dim2与dim3的协方差： sum( (dim1-mean(dim1)) .*(dim2-mean(dim2)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) %得到 74.5333 sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到 -10.0889 sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到 -10***000 %搞清楚了这个后面就容易多了，协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差，下面我们依次计算： std(dim1)^2 % 得到 108.3222 std(dim2)^2 % 得到 260.6222 std(dim3)^2 % 得到 94.1778 %这样，我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据，调用Matlab自带的cov函数进行验证： cov(MySample)
可以看到跟我们计算的结果是一样的，说明我们的计算是正确的。但是通常我们不用这种方法，而是用下面简化的方法进行计算：
先让样本矩阵中心化，即每一维度减去该维度的均值，然后直接用新的到的样本矩阵乘上它的转置，然后除以(N-1)即可。其实这种方法也是由前面的公式通道而来，只不过理解起来不是很直观而已。大家可以自己写个小的矩阵看一下就明白了。其Matlab代码实现如下：
1 X = MySample –repmat(mean(MySample),10,1); %中心化样本矩阵 2 C = (X’*X)./(size(X,1)-1) 3 %为方便对matlab不太明白的人，小小说明一下各个函数，同样，对matlab有一定基础的人直接跳过： 4 %B = repmat(A,m,n ) %%将矩阵 A复制 m×n块，即把 A 作为 B的元素，B由 m×n个 A平铺而成。B的维数是 [size(A,1)*m, (size(A,2)*n] 5 %B = mean(A)的说明： 6 %如果你有这样一个矩阵：A = [1 2 3; 3 36; 4 6 8; 4 7 7]; 7 %用mean(A)（默认dim=1）就会求每一列的均值 8 % ans = 9 % 3.0000 4.5000 6.0000 10 % 用mean(A,2)就会求每一行的均值 11 % ans = 12 % 2.0000 13 % 4.0000 14 % 6.0000 15 % 6.0000 16 size(A,n)%% 如果在size函数的输入参数中再添加一项n，并用1或2为n赋值，则 size将返回矩阵的行数或列数。其中r=size(A,1)该语句返回的是矩阵A的行数， %c=size(A,2)该语句返回的是矩阵A的列数
上面我们简单说了一下协方差矩阵及其求法，言归正传，我们用上面简化求法，求出样本的协方差矩阵为：
3、计算协方差矩阵的特征向量和特征值
因为协方差矩阵为方阵，我们可以计算它的特征向量和特征值，如下：
我们可以看到这些矢量都是单位矢量，也就是它们的长度为1，这对PCA来说是很重要的。
4、选择成分组成模式矢量
求出协方差矩阵的特征值及特征向量之后，按照特征值由大到小进行排列，这将给出成分的重要性级别。现在，如果你喜欢，可以忽略那些重要性很小的成分，当然这会丢失一些信息，但是如果对应的特征值很小，你不会丢失很多信息。如果你已经忽略了一些成分，那么最后的数据集将有更少的维数，精确地说，如果你的原始数据是n维的，你选择了前p个主要成分，那么你现在的数据将仅有p维。现在我们要做的是组成一个模式矢量，这只是几个矢量组成的矩阵的一个有意思的名字而已，它由你保持的所有特征矢量构成，每一个特征矢量是这个矩阵的一列。
对于我们的数据集，因为有两个特征矢量，因此我们有两个选择。我们可以用两个特征矢量组成模式矢量：
我们也可以忽略其中较小特征值的一个特征矢量，从而得到如下模式矢量：
5、得到降维后的数据
其中rowFeatureVector是由模式矢量作为列组成的矩阵的转置，因此它的行就是原来的模式矢量，而且对应最大特征值的特征矢量在该矩阵的最上一行。rowdataAdjust是每一维数据减去均值后，所组成矩阵的转置，即数据项目在每一列中，每一行是一维，对我们的样本来说即是，第一行为x维上数据，第二行为y维上的数据。FinalData是最后得到的数据，数据项目在它的列中，维数沿着行。
这将给我们什么结果呢？这将仅仅给出我们选择的数据。我们的原始数据有两个轴（x和y），所以我们的原始数据按这两个轴分布。我们可以按任何两个我们喜欢的轴表示我们的数据。如果这些轴是正交的，这种表达将是最有效的，这就是特征矢量总是正交的重要性。我们已经将我们的数据从原来的xy轴表达变换为现在的单个特征矢量表达。
说明：如果要恢复原始数据，只需逆过程计算即可，即：
到此为止，相信你已经掌握了PCA的原理了。
三 . PCA的应用
PCA及其改进算法主要应用的人脸识别领域，是人脸识别的经典算法之一。OpenCv2.4以后的版本实现了三种经典的人脸识别算法，其中就包括PCA。对openCv比较老的版本也可以调用PCA的算法去做，只是稍显复杂而已，网上有一篇博文如下：
http://www.cognotics.com/opencv/servo_2007_series/part_5/index.html
该代码运行在openCv2.1之前的版本当中，但是该代码有个重要的bug就是特征数K被设置为固定的值，而选择更小的值的时候，代码会crash。
PCA另外一个主要的用途是作为其他算法的预处理，术语叫做数据的白化。由于PCA具有压缩数据的作用，所以可以认为经过PCA处理过之后的数据是不相关的，但一般未必是独立的。实际可用的PCA算法一般不是以解析解的形式给出的，而是在线学习算法。有很多的原因决定了只能使用在线学习算法。在线学习算法主要有基于神经网络学习的算法和递归最小二乘法，相关的文献如下：
http://wenku.baidu.com/view/c91f31c058f5f61fb73666f8.html
要注意的是openCv的实现不是在线学习算法。
四. PCA 的实现
1 #ifndef _FCE__PCA__H__ 2 #define _FCE__PCA__H__ 3 4 #define HIGH_PRECISON 5 6 #ifdef HIGH_PRECISON 7 #define real float 8 #else 9 #define real double 10 #endif 11 12 13 #ifdef _cplusplus 14 { 15 extern "C" 16 #endif 17 18 19 typedef struct _FCE_PCA{ 20 int count; //the number of sample 21 int n; // the number of features 22 real *covariance; 23 real *mean; 24 real *z; 25 }FCE_PCA; 26 27 28 FCE_PCA *fce_pca_init(int n); 29 30 void fce_pca_push_add(FCE_PCA *pca, real *v); 31 32 int fce_pca_solve_eig(FCE_PCA *pca, real *eigenvector, real *eigenvalue); 33 34 void fce_pca_free(FCE_PCA *pca); 35 36 #ifdef _cplusplus 37 } 38 #endif 39 40 #endif
1 #include "fce_pca.h" 2 3 4 #define FCE_MIN(i,j) (((i) > (j)) ? (j) : (i)) 5 #define FCE_MAX(i,j) (((i) > (j)) ? (i) : (j)) 6 7 FCE_PCA *fce_pca_init(int n){ 8 FCE_PCA *pca; 9 real zero = 0.0; 10 if(n <= 1) 11 return NULL; 12 13 pca = (FCE_PCA* )malloc(sizeof(FCE_PCA)); 14 if (pca == NULL){ 15 return NULL; 16 } 17 18 pca->n = n; 19 pca->z = (real* )malloc(sizeof(*pca->z) * n); 20 if (pca->z == NULL){ 21 free(pca); 22 return NULL; 23 } 24 25 memset(pca->z, zero, sizeof(*pca->z) * n); 26 27 pca->count=0; 28 pca->covariance= (real* )malloc(sizeof(real) * n * n); 29 if (pca->covariance == NULL){ 30 free(pca->z); 31 free(pca); 32 return NULL; 33 } 34 35 memset(pca->covariance, zero, sizeof(real) * n * n); 36 37 pca->mean = (real* )malloc(sizeof(real) * n); 38 if (pca->mean == NULL){ 39 free(pca->covariance); 40 free(pca->z); 41 free(pca); 42 return NULL; 43 } 44 45 memset(pca->mean, zero, sizeof(real) * n); 46 47 return pca; 48 } 49 50 void fce_pca_free(FCE_PCA *pca){ 51 free(pca->covariance); 52 free(pca->mean); 53 free(pca->z); 54 free(pca); 55 } 56 57 void fce_pca_push_add(FCE_PCA *pca, real *v){ 58 int i, j; 59 const int n = pca->n; 60 for(i = 0; i < n; i++){ 61 pca->mean[i] += v[i]; 62 for(j = i; j < n; j++) 63 pca->covariance[j + i * n] += v[i]*v[j]; 64 } 65 pca->count++; 66 } 67 68 int fce_pca_solve_eig(FCE_PCA *pca, real *eigenvector, real *eigenvalue){ 69 int i, j, pass; 70 int k = 0; 71 const int n = pca->n; 72 real *z = pca->z; 73 real zero = 0.0; 74 75 memset(eigenvector, zero, sizeof(real)*n*n); 76 77 for(j = 0; j < n; j++){ 78 pca->mean[j] /= pca->count; 79 eigenvector[j + j * n] = 1.0; 80 for(i = 0; i <= j; i++){ 81 pca->covariance[j + i * n] /= pca->count; 82 pca->covariance[j + i * n] -= pca->mean[i] * pca->mean[j]; 83 pca->covariance[i + j * n] = pca->covariance[j + i * n]; 84 } 85 eigenvalue[j] = pca->covariance[j + j*n]; 86 z[j] = 0; 87 } 88 89 for(pass=0; pass < 50; pass++){ 90 real sum = 0; 91 for(i = 0; i < n; i++) 92 for(j = i+1; j < n; j++) 93 sum += fabs(pca->covariance[j + i * n]); 94 95 if(sum == 0){ 96 for(i = 0; i < n; i++){ 97 real maxvalue = -1; 98 for(j = i; j < n; j++){ 99 if(eigenvalue[j] > maxvalue){ 100 maxvalue = eigenvalue[j]; 101 k= j; 102 } 103 } 104 eigenvalue[k] = eigenvalue[i]; 105 eigenvalue[i] = maxvalue; 106 for(j = 0; j < n; j++){ 107 real tmp = eigenvector[k + j * n]; 108 eigenvector[k + j * n] = eigenvector[i + j * n]; 109 eigenvector[i + j * n] = tmp; 110 } 111 } 112 return pass; 113 } 114 115 for(i = 0; i < n; i++){ 116 for(j = i + 1; j < n; j++){ 117 real covar = pca->covariance[j + i * n]; 118 real t,c,s,tau,theta, h; 119 120 if(pass < 3 && fabs(covar) < sum / (5*n*n)) 121 continue; 122 if(fabs(covar) <= 0.00000000001) 123 continue; 124 if(pass >=3 && fabs((eigenvalue[j]+z[j])/covar) > (1LL<<32) && fabs((eigenvalue[i]+z[i])/covar) > (1LL<<32)){ 125 pca->covariance[j + i * n]=0.0; 126 continue; 127 } 128 129 h = (eigenvalue[j] + z[j]) - (eigenvalue[i] + z[i]); 130 theta = 0.5 * h/covar; 131 t = 1.0 /(fabs(theta) + sqrt(1.0 + theta * theta)); 132 if(theta < 0.0) t = -t; 133 134 c = 1.0 /sqrt(1 + t * t); 135 s = t * c; 136 tau = s /(1.0 + c); 137 z[i] -= t * covar; 138 z[j] += t * covar; 139 140 #define ROTATE(a,i,j,k,l) { 141 real g =a[j + i*n]; 142 real h =a[l + k*n]; 143 a[j + i*n] = g - s * (h + g * tau); 144 a[l + k*n] = h + s * (g - h * tau); } 145 for(k = 0; k < n; k++) { 146 if(k != i && k != j){ 147 ROTATE(pca->covariance,FCE_MIN(k,i),FCE_MAX(k,i),FCE_MIN(k,j),FCE_MAX(k,j)) 148 } 149 ROTATE(eigenvector,k,i,k,j) 150 } 151 pca->covariance[j + i * n]=0.0; 152 } 153 } 154 for (i = 0; i < n; i++) { 155 eigenvalue[i] += z[i]; 156 z[i]=0.0; 157 } 158 } 159 160 return 0; 161 }