世界是物质的，物质是运动的，运动是有规律的，规律是可以被认识的
二项式反演
[g_n=sum_{i=0}^n inom{n}if_iRightarrow f_n=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}ig_i
]
证明如下
[egin{aligned}
sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}ig_i
&=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}isum_{j=0}^iinom{i}jf_i\
&=sum_{j=0}^nf_i sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n}iinom{i}j\
&=sum_{j=0}^nf_i sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n}jinom{n-j}{i-j}\
&=sum_{j=0}^ninom{n}jf_j sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}inom{n-j}{i-j}\
&=sum_{j=0}^ninom{n}jf_j sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-j-i}inom{n-j}i\
&=sum_{j=0}^ninom{n}jf_j imes (1-1)^{n-j}
end{aligned}
]
在默认(0^0=1)的情况下，显然
[sum_{j=0}^ninom{n}jf_j imes (1-1)^{n-j}=f_n\
f_n=f_n
]
最值反演
[max(S)=sum_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|-1}min(T)\
E(max S)=sum_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|-1}E(min T)\
ext{lcm}(S)=prod_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|-1}gcd(T)\
]
其中，(S,T ot=varnothing)。
推导第一类
设系数函数(f)满足
[max(S)=sum_{Tsubseteq S} f(|T|)min(T)
]
考虑(S)中第(x+1)大元素作为子集的最小值的情况数，显然
[sum_{i=0}^xinom{x}if(i+1) = [x=0]\
f(x+1)=sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}inom{x}i[i=0]=(-1)^x
]
于是(f(x)=(-1)^{x-1})。
扩展
[ ext{maxk}(S)=sum_{Tsubseteq S} f(|T|)min(T)
]
此时需要满足
[sum_{i=0}^xinom{x}if(i+1) = [x=k-1]\
f(x+1)=sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}inom{x}i[i=k-1]=(-1)^{x-k+1}inom{x}{k-1}
]
即(f(x)=(-1)^{x-k}inom{x-1}{k-1})。
[ ext{maxk}(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom{|T|-1}{k-1}min(T)
]