【几何系列】复数基础与二维空间旋转

本文我们讨论复数及其旋转的含义。复数很有意思，本文介绍了复数的基本定义和性质，以及它关于旋转的几何意义。

复数对于旋转的表示非常重要：

1. 它引入了旋转算子（rotational operator）的思想：可以通过复数表示一个旋转变换。

2. 它是四元数和多向量的内在属性。

虽然我们暂时不讨论四元数和多向量（后面文章会介绍），但是我们会讨论复数的旋转含义（复平面上的 2D 旋转），以及引入的旋转子（rotor），我们发现通过特定的复数可以描述一个 2D 旋转。

介绍

复数（complex number）又称为数字王国中的“国王”，它可以解决普通实数不能很好解决的问题。

例如，对于以下方程：

$$x^2+1=0$$

尽管方程如此简单，但并没有实数解。实际上，实数无法解决这样的问题：

$$x=sqrt{-1}$$

但这没有妨碍数学家们找到解决此类问题的方法，他们提出一个很牛很简单的思想，就是承认 $i$ 的存在，它满足 $i^2=-1$，于是前面的方程我们可以解出：

$$x=pm i$$

那么 $i$ 到底是什么呢？我们可以不必纠结，$i$ 就是数学家提出的数学工具，一个简单的数学对象，满足 $i^2=-1$。本文会探讨这个数学工具对于旋转如何发挥作用。

复数基础

复数的定义

复数由两个部分组成：实部（real part）和虚部（imaginary part）。实部就是我们平常遇到的数（正数、负数、0），而虚部是一个实数和 $i$ 的乘积。

例如，$2+3i$ 是一个复数，2 是实部，$3i$ 是虚部。

复数集就像是实数集的扩展，它包含了所有实数（虚部为 0）。而虚部不为 0 的复数不是实数。以下都属于复数：

• 2
• $2+2i$
• $1-3i$
• $-4i$
• $17i$
• $isin heta$
• $4.5+icos heta$

不过在 Python 中，复数的 $i$ 符号用 $j$ 表示，在 Jupyter 中运行 Python：

z = 3 + 4j
z, z.real, z.imag   # 复数、实部、虚部

输出：

((3+4j), 3.0, 4.0)
5.0

复数的公理

下面的公理体现了复数的性质。对于任意的复数 $z_1$、$z_2$ 和 $z_3$，满足：

• 加法交换律：$z_1+z_2=z_2+z_1$
• 加法结合律：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
• 乘法交换律：$z_1z_2=z_2z_1$
• 乘法结合律：$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$
• 乘法分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$、$(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$

其实复数的这些加法和乘法的公理和实数一样的。由于复数集里面包含实数集，如果不和实数一致，反而比较奇怪的。

复数的模

模（modulus）有长度的含义。对于复数 $z=a+bi$，它的模定义为：

$$left | z ight |=sqrt{a^2+b^2}$$

例如，$3+4i$ 的模为 5。

后面我们会看到，模定义在复数的极坐标表示中的作用。

例子：

abs(3 + 4j)   # 模

输出：

5.0

复数的加减

对于两个复数：$z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其加减法为

$$z_1pm z_2=(apm c)+(bpm d)i$$

即实部和虚部分别相加减。

例子：

(2 + 3j) + (3 - 4j)  # 加法

输出：

(5-1j)

复数的标量乘法

标量乘法同样符合我们的直觉。对于标量 $lambda$ 和复数 $a+bi$，有

$$lambda(a+bi)=lambda a+lambda bi$$

例如：

$$2(3+5i)=6+10i$$

2 * (3 + 5j)  # 标量乘法

输出：

(6+10j)

两个复数的乘积

两个复数的乘积就是各项分别相乘并相加。对于两个复数 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，有

egin{align*}
z_1z_2 &= (a+bi)(c+di)\
&= ac+adi+bci+bdi^2\
&= (ac-bd)+(ad+bc)i
end{align*}

例如，对于 $z_1=3+4i$ 和 $z_2=5-2i$，有

egin{align*}
z_1z_2 &= (3+4i)(5-2i)\
&= 15-6i+20i-8i^2\
&= 23+14i
end{align*}

可以看到。两个复数的加减和乘积都是一个复数。

(3 + 4j) * (5 - 2j)  # 两复数的乘法

输出：

(23+14j)

共轭复数

两个复数相乘还有个特殊情况：

egin{align*}
(a+bi)(a-bi)&=a^2-b^2i \
&= a^2+b^2
end{align*}

其中 $a-bi$ 称作是 $a+bi$ 的共轭复数（conjugate complex number），又称复共轭、复数共轭。

更一般的定义，$z=a+bi$ 的共轭复数用 $ar{z}$ 或 $z^*$ 表示，其中：

$$z^*=a-bi$$

而

$$zz^*=a^2+b^2=left |z  ight |^2$$

例子：

(3 + 4j).conjugate()  # 共轭复数

输出：

(3-4j)

两个复数的除法

利用共轭复数的性质，我们再来看复数的除法。

对于 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其中 $z_2 eq 0$。

那么，

egin{align*}
frac{z_1}{z_2}&=frac{z_1z_2^*}{z_2z_2^*} \
&= frac{z_1z_2^*}{left | z_2 ight |^2} \
&= frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \
&= frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}
end{align*}

例子：

egin{align*}
frac{4+3i}{3+4i}&=frac{(4*3+3*4)+(3*3-4*4)i}{3^2+4^2} \
&= frac{24}{25}-frac{7}{25}i
end{align*}

(4 + 3j) / (3 + 4j)  # 两复数的除法

输出：

(0.96-0.28j)

复数的逆

已知一个复数 $z eq 0$，定义它的逆 $z^{-1}=frac{1}{z}$。利用共轭复数的性质，我们可以推导：

$$frac{z^{-1}}{z^*}=frac{1}{zz^*} = frac{1}{left | z ight |^2}$$

$$Rightarrow z^{-1}=frac{z^*}{left | z ight |^2}$$

例子：

egin{align*}
frac{1}{3+4i} &=(3+4i)^{-1} \
&= frac{3-4i}{25} \
&= frac{3}{25}-frac{4}{25}i
end{align*}

检查：$(3+4i)(frac{3}{25}-frac{4}{25}i)=frac{9}{25}-frac{12}{25}i+frac{12}{25}i+frac{16}{25}=1$

1 / (3 + 4j)  # 复数求逆

输出：

(0.12-0.16j)

复数与旋转

首先，考虑一条实数轴，想象对于一个实数而言，与它的相反数究竟有什么关系？

我们可以把相反数看成：原实数绕原点旋转了 180°。

例如，“2” 旋转 180° 后变成 -2，“-3” 旋转 180° 后变成 “3”。由于复数的定义，我们可以把相反数 $-n$ 写成：

$$-n=i^2n$$

于是我们可以把乘以 $i^2$ 看成是绕原点 180° 的旋转。那么乘以 $i$ 表示什么呢？

90° 的旋转。

复平面

当我们用复数的实部和虚部构建一个 2D 坐标系，这就是复平面（complex plane）。复平面的横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

使用复平面，我们来观察这个 90° 的旋转是什么意思。

下面我们画出 4 个复数：$z_1=1+2i$、$z_2=-2+i$、$z_3=-1-2i$、$z_4=2-i$，它们分别可以代表 4 个长度相等的向量：$u$、$v$、$w$、$a$。之所以长度相等，是因为这 4 个复数的模相等。

我们可以看到它们依次逆时针旋转 90°。例如，

对 $u$ 旋转 90°：$i(1+2i)=-2+i=v$，得到 $v$。

对 $v$ 旋转 90°：$i(-2+i)=-1-2i=w$，得到 $w$。

对 $w$ 旋转 90°：$i(-1-2i)=2-i=a$，得到 $a$。

对 $a$ 旋转 90°：$i(2-i)=1+2i=u$，得到 $u$。

于是我们发现，要对一个复数（这个复数在复平面可以表示为一个 2D 向量）旋转 90°，只需乘以 $i$ 即可。

几百年前，Euler 通过复平面把复数画了出来，而其中蕴含的“复数可以表示旋转”的思想，在现在很多领域得到了应用。

极坐标表示

我们再整理一下上两节的内容。我们实际上发现：复数在几何上的有一些有意思的性质。

如果我们用复数来表示一个 2 维直角坐标系上的向量的话（当然复数是一个数学工具，也可以表示其他含义），看起来乘以 $i$ 表示旋转 90°。

那么自然地，我们就会去进一步思考，如果旋转任意角度应该怎么表达呢？旋转 45° 究竟是乘以 $frac{1}{2}i$，还是乘以 $sqrt{i}$，还是乘以其他的什么东西？

以及，为什么乘以复数会表示旋转？

为了解决这两个问题，我们开始引入复平面上的极坐标表示。

在这样的极坐标下，复数 $z=a+bi$ 可以通过长度 $left r=| z ight |$ 和角度 $ heta=arg(z) $ 来唯一确定。

长度 $r$ 等于复数的模，而角度 $ heta$ 是实数轴和复数所表示的向量的夹角，称为幅角（argument），记为 $arg(z)$。接下来根据三角函数，我们有 $a=rcos heta $ 和 $b=rsin heta $，于是可以得到：

egin{align*}
z&=a+bi \
&=rcos heta+irsin heta \
&=r(cos heta+isin heta)
end{align*}

根据欧拉公式 $e^{i heta}=cos heta+isin heta$，复数的极坐标表示可以写成更为简洁的形式：

$$z=re^{i heta}$$

关于欧拉公式

Euler 提出的欧拉公式体现了自然底数 $e$ 和三角函数 $sin heta$、$cos heta$ 之间的关系。

关于它的含义一眼看去并不直观。欧拉方程的其中一种证明方法是利用泰勒级数展开式把 $e^x$ 、$cosx$ 和 $sinx$ 关联起来。以下是简单证明。

根据级数展开：

$$e^{i heta}=1+(i heta)+frac{(i heta)^2}{2!}+frac{(i heta)^3}{3!}+...$$

$$cos heta=1-frac{ heta^2}{2!}+frac{ heta^4}{4!}-frac{ heta^6}{6!}+...$$

$$sin heta=1-frac{ heta^3}{3!}+frac{ heta^5}{5!}-frac{ heta^7}{7!}+...$$

根据复数的定义 $i^2=-1$，于是有：

egin{align*}
e^{i heta} &= 1 + i heta - frac{ heta^2}{2!} - ifrac{ heta^3}{3!} + frac{ heta^4}{4!}+ifrac{ heta^5}{5!}- frac{ heta^6}{6!} - ifrac{ heta^7}{7!}+...\
&= (1-frac{ heta^2}{2!}+ frac{ heta^4}{4!}- frac{ heta^6}{6!}+...)+i( heta-frac{ heta^3}{3!}+frac{ heta^5}{5!}-frac{ heta^7}{7!}+...) \
&=cos heta+isin heta
end{align*}

到了这种表达形式后，我们再看两个复数的乘法，就会发现它的几何含义。

给定两个任意用极坐标表示的复数：$z_1=r_1e^{i heta _1}$ 和 $z_2=r_2e^{i heta _2}$。那么我们会得到：

egin{align*}
z_1z_2 &= r_1r_2e^{i heta _1}e^{i heta _2} \
&= r_1r_2e^{i( heta _1+ heta _2)}
end{align*}

可以看到，两个复数的乘积得到另一个复数。

它的模等于两个复数的模的乘积：$left | z_1z_2 ight |=r_1r_2$。

它的幅角等于两个复数的幅角的和：$arg(z_1z_2)= heta _1+ heta _2$

于是看起来，考虑复平面这个几何情形，乘以一个复数，可以同时带来两种变换的效果。

1. 长度的缩放（通过改变模长）。

2. 旋转（通过改变幅角）。

旋转子

接下来一个很自然的想法，就是：乘以一个什么样的复数，不会产生缩放，只会产生旋转？

显然，通过前面极坐标下自然底数的表达形式的推导，我们知道乘以一个模为 1 的复数时，不会导致缩放，只会产生旋转。

这样的复数就称为旋转子（rotor），旋转子提供了“纯”旋转动作的数学表示，它可以将复数旋转任意角度。一般而言，将复数旋转角度 $ heta$ 的旋转子定义为：

$$R_ heta =cos heta + isin heta =e^{i heta}$$

例如，对于复数 $2+2i$，我们如果需要对它进行逆时针 45° 的旋转，需要乘以：

$$1cdot e^{icdot 45^{circ}}=cos45^{circ}+isin45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i$$

我们通过手算计算出其乘积为 $2sqrt{2}i$

$$(frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=sqrt{2}+sqrt{2}i+sqrt{2}i+sqrt{2}i^2=2sqrt{2}i$$

如果通过 Python 计算会得到其对应的结果：

from math import pi, cos, sin

theta = pi / 4  # 定义角度
z1 = 2 + 2j
z2 = cos(theta) + 1j * sin(theta)
print(z1)
print(z2)
print(z1 * z2)

输出：

(2+2j)
(0.7071067811865476+0.7071067811865476j)
2.8284271247461903j

通过下图，我们看到了旋转子的“纯”旋转效果。

接下来，我们看看旋转子的共轭复数是什么。由于旋转子模为 1，而根据前面共轭复数和逆的定义，我们不难证明：旋转子的共轭复数等于该旋转子的逆。

对于旋转子 $R_ heta=e^{i heta}=cos heta+isin heta$，

它的共轭复数：$(R_ heta)^*=cos heta-isin heta=cos(- heta)+isin(- heta)=R_{- heta}$

它的逆：$e^{i heta}e^{-i heta}=1Rightarrow (R_ heta)^{-1}=e^{-i heta}=R_{- heta}$

那么接着前面的例子，$z_1$ 乘以 $z_2$ 的共轭复数（或者逆）后的效果，是顺时针旋转 45°。

$z_2$ 的共轭复数（或者逆）为：$R_{- heta}=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}i$

手算：$(frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=sqrt{2}-sqrt{2}i+sqrt{2}i-sqrt{2}i^2=2sqrt{2}$

用代码计算结果：

z3 = z2.conjugate()  # z2 的共轭复数
print(z3)
print(z1 * z3)

输出：

(0.7071067811865476-0.7071067811865476j)
(2.8284271247461903+0j)

最后再看看复平面图，确认复数 $z_1$ 沿着相反方向旋转 45°：

 “逆”的含义也在于此，既然旋转子表示旋转任意角度，那么它的逆就应该是“抵消”这种旋转效果，于是它的作用就是朝相反的方向旋转对应的角度。

到此为止，我们已经可以用复数表示二维空间的任意旋转角度，并且利用复数的逆/共轭复数来表示旋转的抵消作用。后面我还会继续发布与旋转有关的文章。

原文作者：雨先生
原文链接：https://www.cnblogs.com/noluye/p/11964513.html
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总结

• 我们谈了复数的基础：复数的定义、公理、加减乘除、模、共轭复数、逆。复数域对实数域进行了很好的扩展，使我们可以去描述旋转。
• 我们定义了复平面，作为我们讨论的二维直角坐标系。
• 我们首先给出了复数的极坐标表示，并且利用欧拉公式推导出了等价的自然底数的表示。到了这一步，复数对于二维旋转的刻画性质已经呼之欲出。
• 复数的乘法运算表现了伸缩和旋转的两种性质，通过对模进行约束（模长等于 1），我们最终得到只表示旋转的复数，称为旋转子。
• 在旋转子中，共轭复数和逆是相等的，而逆表示相反方向的旋转。

参考

• Rotation Transforms for Computer Graphics by John Vince
• 欧拉公式