数论——质数筛法

一、埃拉托斯特尼（Eratosthenes）筛法

算法思想：

　　要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于 的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

模板题链接：筛质数

代码实现：时间复杂度O(nloglogn)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
const int N = 10000000+10;
int p[N];

void prime(int n)
{
    p[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(p[i])continue;
        for(int j=2;j<=n/i;j++)p[i*j]=1;
    }
}

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    prime(n);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!p[i])ans++;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

二、欧拉（Euler）筛法

　　欧拉筛法弥补了埃氏筛法会重复筛去合数的缺陷，而保证了每个合数只会被其最小质因子筛去且只会被筛去一次，在筛出质数的同时还得出了每个数的最小质因子，一举两得，是数论中非常常用也非常重要的一个算法。

　　先上代码：时间复杂度O(n)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
const int N = 10000000+10;

int primes[N],cnt;
int vis[N];

void Euler_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])primes[++cnt]=i;
        for(int j=1;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            vis[primes[j]*i]=1;
            if(i%primes[j]==0)break;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    Euler_prime(n);

    printf("%d
",cnt);
    return 0;
}

　　算法理解：

　　上述第18行代码保证了primes[j]一定小于等于i的所有质因子（因为如果primes[j]枚举到i的某个质因子时便会跳出枚举的循环），故primes[j]是primes[j]*i的最小质因子。

　　下面证明：所有合数只会被其最小质因子筛去，且只会被筛一次。

　　对于任意一个合数k，可以表示成k=p*(k/p)，p是k的最小质因子。由于p≤(k/p)的所有质因子(k/p就相当于上述代码中的i)，所以只有当i枚举到k/p时k才会被筛去，而枚举到其他任何数皆不会筛去k。