【动态规划】电路布线问题

算法笔记——【动态规划】电路布线问题

原创 2013年03月14日 09:18:27

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     1、问题描述：

      在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线(i,π(i)) 将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连，如下图。其中，π(i),1≤ i ≤n,是｛1,2,…,n｝的一个排列。导线(I, π(i))称为该电路板上的第i条连线。对于任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i条连线和第j条连线相交的充要条件是π(i)> π(j).

π（i）=｛8，7，4，2，5，1，9，3，10，6｝

         在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定导线集Nets = ｛i，π(i)，1 ≤ i ≤ n｝的最大不相交子集。    

     2、最优子结构性质：

     记N(i,j) = {t|(t, π(t)) ∈ Nets,t ≤ i, π(t) ≤ j }. N(i,j)的最大不相交子集为MNS（i,j）Size(i,j)=|MNS(i,j)|。

     (1)当i = 1时

    

    (2)当i >1时

    ① j <π(i)。此时，(i,π(i)) 不属于N(i,j)。故在这种情况下，N(i,j) = N(i-1,j)，从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。

    ② j ≥π(i)。此时，若(i, π(i))∈MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)有t < i且π(t)< π(i)；否则，(t, π(t))与(i, π(i))相交。在这种情况下MNS(i,j)-{(i, π(i))}是N(i-1, π(i)-1)的最大不相交子集。否则，子集MNS(i-1, π(i)-1)∪{(i, π(i))}包含于N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。这与MNS(i,j)的定义相矛盾。

     若(i, π(i))不属于MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)，有t<i。从而MNS(i,j)包含于N(i-1,j)，因此，Size(i,j)≤Size(i-1,j)。

     另一方面，MNS(i-1,j)包含于N(i,j),故又有Size(i,j) ≥Size(i-1,j)，从而Size（i,j）= Size(i-1,j)。

     3、递推关系

     电路布线问题的最优值为Size(n,n)。由该问题的最优子结构性质可知，子问题最优值的递归关系如下：

     自底向上，先算上排接线柱只有1个，2个的最优布线，然后求上排接线柱有多个的最优布线。具体代码如下：

#include <iostream>   
using namespace std;   
  
const int N = 10;  
  
void MNS(int C[],int n,int **size);  
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);  
  
int main()  
{  
    int c[] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};//下标从1开始  
    int **size = new int *[N+1];  
  
    for(int i=0; i<=N; i++)  
    {  
        size[i] = new int[N+1];  
    }  
  
    MNS(c,N,size);  
  
    cout<<"电路布线最大不相交连线数目为："<<size[N][N]<<endl;  
  
    int Net[N],m;  
    Traceback(c,size,N,Net,m);  
  
    cout<<"最大不相交连线分别为："<<endl;  
    for(int i=m-1; i>=0; i--)  
    {  
        cout<<"("<<Net[i]<<","<<c[Net[i]]<<") ";  
    }  
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  
  
void MNS(int C[],int n,int **size)  
{  
    for(int j=0;j<C[1];j++)  
    {  
        size[1][j]=0;  
    }  
  
    for(int j=C[1]; j<=n; j++)  
    {  
        size[1][j]=1;  
    }  
  
    for(int i=2; i<n; i++)  
    {  
        for(int j=0; j<C[i]; j++)  
        {  
            size[i][j]=size[i-1][j];//当i<c[i]的情形  
        }  
        for(int j=C[i]; j<=n; j++)  
        {  
            //当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况  
            size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);  
        }  
    }  
    size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);  
}  
  
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)  
{  
    int j=n;  
    m=0;  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    {  
        if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边  
        {  
            Net[m++]=i;  
            j=C[i]-1;//更新扩展连线柱区间  
        }  
    }  
    if(j>=C[1])//处理i=1的情形  
    {  
        Net[m++]=1;  
    }  
}  

     算法MNS时间和空间复杂度为O(n^2)。Traceback时间复杂度为O(n)。程序运行结果如下：