• 多项式乘法,FFT与NTT


    多项式:

    多项式?不会

    多项式加法:

    同类项系数相加;

    多项式乘法:

    A*B=C

    $A=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_ix^i+...+a_{n-1}x^{n-1}$

    $B=b_0x^0+b_1x^1+b_2x^2+...b_ix^i+...+b_{m-1}x^{m-1}$

    $C=c_0x^0+c_1x^1+c_2x^2+...c_ix^i+...+c_{m+n-2}x^{m+n-2}$

    其中

    $$c_k=sum_{i+j=k}^{i<n,j<m}a[i]b[j]$$

    我们又称其为多项式的卷积运算。

    使用定义法,直接进行卷积运算的期望效率为$O(n^2)$

    离散傅里叶变换(DFT):

    一个n次多项式(这里定义为最高项指数为n-1)可以被其图像上n个不重复的点表示(当然大于n个点也可)

    于是这N个有序数对被称为一个多项式的点值表达式

    多项式上任意N个不重复的有序数对皆可

    随便找N个X坐标,依次求其Y坐标,使用(数学必修2称秦九韶算法|算导称霍纳法则)可得到单次$O(n)$整体$O(n^2)$的效率

    这一过程被称作DFT;

    插值(IDFT):

    一种通过多项式的点值表达式求其系数的方法;

    常用的是拉格朗日插值法;

    设多项式A的点值表达式为点集

    {$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{n-1},y_{n-1})$}

    则:

    $$A(x)=sum_{k=0}^{x-1}y_k{{Pi_{j!=k}(x-x_j)}over{Pi_{j!=k}(x_k-x_j)}}$$

    拉格朗日插值法的构造无疑是正确的,然而观察上式即可发现其效率也是$O(n^2)$的;

    (不用仔细研究上面的式子,今天她不重要)

    差值是DFT的逆变换

    FFT与NTT:

    FFT与NTT是在$O(nlog_2n)$的时间内解决多项式卷积的算法;

    (NTT可以用于模意义下的多项式卷积——模某些大费马数)

    直接运用定义在已知系数的前提下进行卷积,其效率是$O(n^2)$的

    然而在点值表达式下,求得卷积多项式的点值表达式的效率是$O(n)$的

    那么如何在$O(nlog_2n)$的时间那进行求值和差值呢

    FFT(快速傅里叶变换Fast Fourier Transform

    下面介绍FFT是如何求值的;

    由于多项式的点值表达不限制找到的是哪些点

    于是FFT是通过找到一组相互之间有联系的X坐标来优化求值过程的;

    复数:

    fft找的X坐标是一堆复数,所以先讲复数;

    定义-1的二次方根为i;

    i无法通过任何线性变换(扩大缩小实数倍)变为实数;

    然而$i^2$=-1;

    于是形如a+b*i的数称为复数;

    复平面

    由于i的实数倍不可能是实数;

    那么如何把复数a+b*i与图形结合呢?(用图形表示复数)

    虚拟一种数学工具

    建立平面直角坐标系,显然该坐标系两轴中的一个可与实数(a)一一对应

    那么另一个与b*i对应即可

    是为复平面:

    当然,比较横向和纵向的距离大小毫无意义

    复平面上点与复数一一对应;

    如1+i与点(1,i)对应

    复数的运算

    从代数上看,复数的加法相当于合并同类项,复数的乘法则是逐项相乘,注意i*i=-1

    从图形上看,复数的加法相当于向量首尾相连,复数的乘法则是两项量模长相乘,与x轴的夹角相加

    (计算一个(cos(u)+sin(u)i)*(cos(v)+sin(v)i)看看复数运算的代数意义与几何意义的关系,注意i*i=-1)

    复单位圆

    考虑枚举弧度X,则所有cos(x)+sin(x)*i的点构成复单位圆

    如果强行认为i的长度等于1的长度,则复单位圆的确仿佛是一个圆

    于是有了一个欧拉公式

    $$e^{u*i}=cos(u)+sin(u)i$$

    函数:$f(u)=e^{u*i}$的图像可以看作是三维的,一个轴是枚举u,剩下的是复平面,她在复平面上的投影即是复单位圆。

     挂个链接,感受一下。

    证明:

    上帝公式怎么需要证明呢(不会,孩子,自己去导吧)

    单位复根

     设$w_n^k=cos({2kpiover n})+sin({2kpiover n})i$

    其中n,k,一般取为正整数

    我们称之为n次单位复根

    • $w_n^1$简记为$w_n$
    • $w_n^k$在n一定,k不定时只有n中取值,$w_n^k=w_n^{n+k}$
    • 用数形结合的观点看

    如下图:

    几个引理:

    • 消去引理:$w_{xn}^{xk}=w_n^k$    ——带单位复根的定义式即可得证
    • 折半引理:$w_n^k=-w_n^{k+{n over 2}}$  ——$w_n^{n over 2}=-1$,然后带欧拉公式得证,也可根据图像得出;

    实现DFT与IDFT

    DFT

    当我们求n次多项式乘m次多项式的结果时,要得到一个n+m-1次多项式;

    于是需要求原来两个多项式中的n+m-1个点,再使之对应相乘;

    事实上,如果在一个n次多项式上写出大于n次的项,但使其系数为0的话,一来她与原式等价,二来她的次数可以变成任意大于n次的值

    我们期望在O(nlog2n)时间内求所有点值

    可以猜测我们使用分治算法;

    于是我们干脆把输入多项式与结果多项式都扩展为一个2s次多项式,使其次数大于n+m-1且最小(最小只是为了常数小)

    那么我们求哪些x对应的y值呢

    我们求所有x∈A:{$x=w_n^k$|k∈Z,0≤k<n,n=$2^s$}对应的y值;

    可以看出A中正好有$2^s$个元素,当然她们是互不相同的

    为什么用这些东西呢?

    我们求解多项式:

    $$A=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_ix^i+...+a_{n-1}x^{n-1}$$

    在$x=x_s$时的取值,即:

    $$A(x_s)=a_0x_s^0+a_1x_s^1+a_2x_s^2+...+a_ix_s^i+...+a_{n-1}x_s^{n-1}$$

    设:

    $$A_0=a_0x^0+a_2x^1+a_4x^2+...+a_{2i}x^i+...+a_{n-2}x^{{n over 2}-1}$$

    $$A_1=a_1x^0+a_3x^1+a_5x^2+...+a_{2i+1}x^i+...+a_{n-1}x^{{n over 2}-1}$$

    则:

    $$A(x_s)=A_0(x_s^2)+x_sA_1(x_s^2)$$

    若把$x_s$分别带为$w_n^s$

    则由于折半引理

    $$A(w_n^{s+{n over 2}})=A_0((w_n^s)^2)-w_n^sA_1((w_n^s)^2)$$

    于是$A_0$,$A_1$分别只有n/2项,要求解的w也只有n/2个;

    运用消去引理

    $$(w_n^s)^2=w_{n over 2}^s$$

    $$A(w_n^s)=A_0((w_n^s)^2)+x_sA_1((w_n^s)^2)=A_0(w_{n over 2}^s)+w_n^sA_1(w_{n over 2}^s)$$

    于是对于$A_0$与$A_1$的求解情况变得与A类似了(只是由n变为n/2——问题规模减半)

    再递归下去即可;

    递归版代码:

    //not found;

    有非递归版谁写递归版啊!

    找一个项数为8的多项式,逐层模拟其递归分治过程,观察其多项式的系数;

    发现其最后一层的序列中排第i的多项式的唯一的系数的下标是i的二进制串,不到8的01串这么长就补0,然后翻过来得到的数;

    有了这个规律直接求出最后一层的结果,然后逐层上推即可;

    (显然最后一层的系数是常数项的)

    代码:

    //f[]开始时盛放系数,最后盛放函数值
    //t输入1时,为DFT,输入-1时,为IDFT,之后再讲
    void FFT(Complex_num f[],int t){
        int i,j,k,lim;
        Complex_num f0,f1;
        ra(f);
    //交换系数,使之变成最后一层的情况
        for(k=2;k<=len;k<<=1){//每个k对应一层,k是该层单个多项式的系数个数,从倒数第二层开始
            lim=(k>>1);
            w[0].generate(1,0);
            w[1].generate(cos(2*Pi*t/k),sin(2*Pi*t/k));
            for(i=2;i<lim;i++)
                w[i]=w[i-1]*w[1];
            for(i=0;i<len;i+=k){//枚举每层的每个多项式
                for(j=i;j<i+lim;j++){//计算
                    f0=f[j];f1=w[j-i]*f[j+lim];
                    f[j]=f0+f1;f[j+lim]=f0-f1;
                }
            }
        }
        if(t<0)
            for(i=0;i<len;i++)
                f[i].R/=len;
    }

    IDFT

    把多项式的n个系数看做n维向量,函数值看做n维向量

    构造DFT矩阵V:

                                                (来自Yveh学长的课件)

    构造其逆矩阵D,即是IDFT的矩阵:

                                                (来自Yveh学长的课件)

    讲这么多其实就是之前FFT的代码,t=1时求对应系数下的DFT,t=-1时求对应函数值下的IDFT

    NTT(快速数论变换Fast Number-Theoretic Transform

    NTT解决的是模意义下的多项式卷积——只是模了常数,不是模了x的多少次方;(系数取模,不是多项式模)

    下面介绍NTT是如何求值的;

    由于多项式的点值表达不限制找到的是哪些点

    于是NTT是通过找到一组相互之间有联系的X坐标来优化过程的;

    生成子群与原根

    群的相关

    与模数互质的数集的原根的某些次方具有和单位复根相似的性质,于是NTT取原根的某些次方为x;

    定义有限群(A,·)的原根g,为<g>=A的g(g是单个元素),<g>是g的生成子群

    既然这样:A={x|x=$g^k$,k∈$Z_+$}

    可以看出,1≤k≤|A|时$g^k$各不相同(否则提前出现了循环,就会使A集合中元素个数不到|A|个)

    既然,$g^k$在1≤k≤|A|中必有一个单位元,那么只能是$g^{|A|}$了;

    给定一个正整数P,与其互质的小于她的数的集合,在乘法下构成一个群;

    这里只讨论P为质数;

    她是一个有限群,(只有P-1个元素);

    于是她是有限群的一个例子;

    她的原根也是有限群原根的一个例子;

    正题

    于是在模P意义下,

    取原根的所有次方可以有P-1个不同取值,

    在多项式求值时取她们的话,

    应该比我们需要的点数多不少

    然而我们只需要原根的某些次方,还希望她们满足与单位复根类似的性质

    ——这样只要把FFT模板中的单位复根换成原根的某些次方,且把复数运算换成模运算就好了

    这里讨论在$P=C2^k+1$且$2^k$大于我们需要的点数时的解法

    (一种常见的情况,P这时被称作费马数)

    设需要点数为n(这里的n已经被扩展为2的某次方);

    设$g_n^0=g_n^n=g^{P-1}=g^{C2^k}=1$

    这样的话$g_n^1=g^{C2^k over n}$

    $g_n^s=g^{Cs2^k over n}$

    在s取0到n-1时互不相同;

    且满足消去,折半引理;(这里的减号是模意义下的减号)

    非递归代码如下:

    void NTT(LL f[],int t){
        int i,j,k,lim;
        LL f0,f1,inv;
        ra(f);
        for(k=2;k<=len;k<<=1){
            lim=k>>1;
            g[0]=1;
            g[1]=rc[k];
            for(i=2;i<lim;i++)
                g[i]=g[i-1]*g[1]%mod;
            for(i=0;i<len;i+=k)
                for(j=i;j<i+lim;j++){
                    f0=f[j];f1=g[j-i]*f[j+lim]%mod;
                    f[j]=(f0+f1)%mod;f[j+lim]=(f0-f1+mod)%mod;
                }
        }
        if(t<0){
            for(i=1;i<len>>1;i++)
                swap(f[i],f[len-i]);
            inv=Sqr(len,mod-2);
            for(i=0;i<len;i++)
                (f[i]*=inv)%=mod;
        }
    }

    t=1时求对应系数下的DFT,t=-1时求对应函数值下的IDFT

    NTT中DFT与IDFT的关系与FFT中类似,只是除len改为乘其逆元,然而上面这个是优化过的代码,看起来IDFT与FFT的IDFT部分不太一样。

    不再赘述;

    给一个总模板:

    uoj #34(NTT也可解决整数系数却没模数的问题,自己取个大费马数做模数即可)

    #include<cmath>
    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<algorithm>
    #define LL long long
    using namespace std;
    const LL mod=104857601;
    const LL C=25;
    const LL K=22;
    const LL G=3;
    LL N,M,len;
    LL a[3000010],b[3000010],g[3000010],rc[3000010];
    int rat[3000010];
    inline void in(LL &ans)
    {
        ans=0;bool p=false;char ch=getchar();
        while((ch>'9' || ch<'0')&&ch!='-') ch=getchar();
        if(ch=='-') p=true,ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
        if(p) ans=-ans;
    }
    void Init();
    int get_len(int ,int );
    void pol_mul();
    void NTT(LL f[],int t);
    void ra(LL f[]);
    LL Sqr(LL ,int );
    int main()
    {
        int i;
        Init();
        pol_mul();
        for(i=0;i<N+M-1;i++)
            printf("%lld ",a[i]);
        return 0;
    }
    void Init(){
        int i;
        in(N),in(M);
        N++,M++;
        for(i=0;i<N;i++)
            in(a[i]);
        for(i=0;i<M;i++)
            in(b[i]);
        len=get_len(N,M);
        rat[0]=0;
        for(i=1;i<len;i++)
            rat[i]=rat[i>>1]>>1|((i&1)*(len>>1));
        rc[i=len]=Sqr(G,(mod-1)/len);
        while(i){
            rc[i>>1]=rc[i]*rc[i]%mod;
            i>>=1;
        }
    }
    int get_len(int n,int m){
        int k=max(n,m),ret=1;
        while(ret<(k<<1))
            ret<<=1;
        return ret;
    } 
    void pol_mul(){
        int i;
        NTT(a,1);NTT(b,1);
        for(i=0;i<len;i++)
            (a[i]*=b[i])%=mod;
        NTT(a,-1);
    }
    void NTT(LL f[],int t){
        int i,j,k,lim;
        LL f0,f1,inv;
        ra(f);
        for(k=2;k<=len;k<<=1){
            lim=k>>1;
            g[0]=1;
            g[1]=rc[k];
            for(i=2;i<lim;i++)
                g[i]=g[i-1]*g[1]%mod;
            for(i=0;i<len;i+=k)
                for(j=i;j<i+lim;j++){
                    f0=f[j];f1=g[j-i]*f[j+lim]%mod;
                    f[j]=(f0+f1)%mod;f[j+lim]=(f0-f1+mod)%mod;
                }
        }
        if(t<0){
            for(i=1;i<len>>1;i++)
                swap(f[i],f[len-i]);
            inv=Sqr(len,mod-2);
            for(i=0;i<len;i++)
                (f[i]*=inv)%=mod;
        }
    }
    void ra(LL f[]){
        int i;
        for(i=0;i<len;i++)
            if(rat[i]>i)
                swap(f[i],f[rat[i]]);
    }
    LL Sqr(LL x,int n){
        LL ret=1;
        while(n){
            if(n&1)(ret*=x)%=mod;
            n>>=1;(x*=x)%=mod;
        }
        return ret;
    }
    NTT
    #include<cmath>
    #include<cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const double Pi=acos(-1.0);
    struct Complex_num{
        double R,I;
        void generate(double r,double i){
            R=r;I=i;
        }
    };
    Complex_num a[3050000],b[3050000],w[3050000];
    int len;
    int rat[3050000];
    Complex_num operator + (const Complex_num a,const Complex_num b){
        Complex_num ret;
        ret.generate(a.R+b.R,a.I+b.I);
        return ret;
    }
    Complex_num operator - (const Complex_num a,const Complex_num b){
        Complex_num ret;
        ret.generate(a.R-b.R,a.I-b.I);
        return ret;
    }
    Complex_num operator * (const Complex_num a,const Complex_num b){
        Complex_num ret;
        ret.generate(a.R*b.R-a.I*b.I,a.R*b.I+a.I*b.R);
        return ret;
    }
    int get_len(int ,int );
    void ra(Complex_num f[]);
    void FFT(Complex_num f[],int t);
    void swap(Complex_num&a,Complex_num&b){
        Complex_num c;
        c=a;a=b;b=c;
    }
    inline void in(int &ans)
    {
        ans=0;bool p=false;char ch=getchar();
        while((ch>'9' || ch<'0')&&ch!='-') ch=getchar();
        if(ch=='-') p=true,ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
        if(p) ans=-ans;
    }
    int main()
    {
        int n,m,i;
        int xs;
        in(n),in(m);
        n++;m++;
        len=get_len(n,m);
        for(i=0;i<n;i++)
            in(xs),a[i].generate(xs,0);
        for(i=0;i<m;i++)
            in(xs),b[i].generate(xs,0);
        for(i=n;i<=len;i++)
            a[i].generate(0,0);
        for(i=m;i<=len;i++)
            b[i].generate(0,0);
        memset(rat,0,sizeof(rat));
        for(i=0;i<len;i++)
            rat[i]=rat[i>>1]>>1|((i&1)*(len>>1));
        FFT(a,1);FFT(b,1);
        for(i=0;i<len;i++)
            a[i]=a[i]*b[i];
        FFT(a,-1);
        for(i=0;i<n+m-1;i++)
            printf("%d ",int(a[i].R+0.5));
        return 0;
    }
    int get_len(int n,int m){
        int ret=1,k=n>m?n:m;
        while(ret<(k<<1))
            ret<<=1;
        return ret;
    }
    void ra(Complex_num f[]){
        int i;
        for(i=0;i<len;i++)
            if(rat[i]>i)
                swap(f[i],f[rat[i]]);
    }
    void FFT(Complex_num f[],int t){
        int i,j,k,lim;
        Complex_num f0,f1;
        ra(f);
        for(k=2;k<=len;k<<=1){
            lim=(k>>1);
            w[0].generate(1,0);
            w[1].generate(cos(2*Pi*t/k),sin(2*Pi*t/k));
            for(i=2;i<lim;i++)
                w[i]=w[i-1]*w[1];
            for(i=0;i<len;i+=k){
                for(j=i;j<i+lim;j++){
                    f0=f[j];f1=w[j-i]*f[j+lim];
                    f[j]=f0+f1;f[j+lim]=f0-f1;
                }
            }
        }
        if(t<0)
            for(i=0;i<len;i++)
                f[i].R/=len;
    }
    FFT

    最后帮同学刷访问量:

    卷积与FFT的理解方法几条

    FFT总结

    其实都写得挺好的

    然而,这个东西真的只是背模板即可啊

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