浅谈斯特林数及其应用

第一类斯特林数

定义

第一类Stirling数表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。

设有多项式

[[x]_n = x(x-1)(x-2)dots(x-n+1) ]

[=s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x^2+dots +s(n,n)x^n ]

则称(s(n,0),s(n,1),dots,s(n,n))为第(1)类斯特林数。

递推式

[[x]_{n+1}=[s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x^2+dots +s(n,n)x^n](x-n) ]

[=s(n+1,0)+s(n+1,1)x+dots+s(n+1,n+1)x^{n+1} ]

显然有

[s(n,r)=s(n-1,r-1)+(n-1)s(n-1,r) ]

考虑其组合意义，最后一个球可以单独构成一个圆排列，也可以插入前面某一个球的一侧。

若单独放，则有(s(n-1,r-1))种放法；若放在某个球的一侧，则有((n-1)s(n-1,r))种放法。

第二类斯特林数

定义

(n)个有区别的球放到(m)个相同的盒子里，要求无一空盒，其不同的方案数用(S(n,m))来表示，称为第２类斯特林数，即(S(n,m))也就是将(n)个数拆分成非空的(ｍ)个部分的方案数。

(E.g.) 红、黄、蓝、白这(4)种颜色的球，放到两个无区别的盒子里，不允许空盒，其方案有如下(7)种：

盒子	1	2	3	4	5	6	7
第一个盒子	r	y	b	w	ry	rb	rw
第二个盒子	ybw	rbw	ryw	ryb	bw	yw	yb

其中(r)表示红球，(y)表示黄球，(b)表示蓝球，(w)表示白球，则有

[S(4,2)=7 ]

性质

1. (S(n,0)=S(0,n)=0,forall n in mathbb{N})

2. (S(n,k)>0)，若(nge kge 1)

3. (S(n,k)=0)，若(k > nge 1)

4. (S(n,1)=1,nge 1)

5. (S(n,n)=1,nge 1)

   前(5)个性质是显然的。

6. (S(n,2)=2^{n-1}-1)

   证明： 两个盒子没有区别，当第(1)个球放进其中一个盒子之后，其余的(n-1)个有标志的球都有与第(1)个球同盒与否的两种选择，但是要排除全部放在同一个盒子的情况，所以是(2^{n-1}-1)。

7. (S(n,3)=frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1})

   证明： 先咕着。

8. (S(n,n-1)=inom{n}{2})

   证明： (n)个有标志的球，(n-1)个无区别的盒子，无一空盒，所以必定有一个盒子有两个球，所以方案数为(inom{n}{2})。

9. (S(n,n-2)=inom{n}{3}+3inom{n}{4})

   证明： (n)个有标志的球，(n-2)个无区别的盒子，无一空盒，所以有两种情况：一是有一个盒子有(3)个球，方案数为(inom{n}{3})；另一种可能则是有两个盒子里面各有(2)个球，方案数为(3inom{n}{4})。

递推式

[S(n,r)=S(n-1,r-1)+rS(n-1,r) ]

考虑最后一个球，若它单独放在一个盒子里，则方案数为(S(n-1,r-1))；若放在前面的某一个盒子里，则方案数为(rS(n-1,r))。

通项公式

[S(n,m)=frac{1}{m!} left[ m^n - inom{m}{1}(m-1)^n+inom{m}{2}(m-2)^n- dots + (-1)^{m-1}inom{m}{m-1}1^n ight] ]

[=frac{1}{m!} sum limits_{k=0}^{m} (-1)^k C(m,k) (m-k)^n ]

证明：

假设盒子有区别，且允许空盒存在，那么显然答案就是(m^n)。但是这里不允许有空盒存在，那么进行容斥。

枚举当前的空盒数，那么先将空盒选出来，也就是(inom{m}{k})，那么剩下的(m-k)个盒子就可以随意放入(n)个球，也就是((m-k)^n)。最后，由于盒子是没有区别的，所以除以一个重复数(m!)。

求斯特林数

除了(O(n^2))递推外还有没有别的方法计算第二类斯特林数呢？显然是有的。

回顾一下上面的通项公式

[S(n,m)=frac{1}{m!} sum limits_{k=0}^{m} (-1)^k C(m,k) (m-k)^n ]

稍微整理一下

[S(n,m)=frac{1}{m!} sum limits_{k=0}^{m} (-1)^k frac{m!}{k!(m-k)!} (m-k)^n ]

[S(n,m)=frac{1}{m!} sum limits_{k=0}^{m} m! frac{(-1)^k}{k!} frac{(m-k)^n}{(m-k)!} ]

[S(n,m)=sum limits_{k=0}^{m} frac{(-1)^k}{k!} frac{(m-k)^n}{(m-k)!} ]

显然，这样就是一个卷积的形式了，可以快速得把一行斯特林数都求出来。

斯特林反演

博主太菜了，不会，咕了。

斯特林数及斯特林反演的应用

咕了。