定义:$phi(n)= sum^{n-1}_{i=1,gcd(i,n)=1} $
即欧拉函数
对(pin P, phi(p)=p-1),可以从质数的定义中得到
接下来有2个集合，(A={a1,a2...a_{phi(n)}}),(B={c*a1,c*a2...c*a_{phi(n)}})
其中(gcd(c,n)=1)
很明显，A是一个n的既约剩余系，接下来要证明B是n的既约剩余系
取(k,jin[1,phi(n)]),设(c*a_kequiv c*a_j(modn))
(nmid c*(a_k-a_j)),由于(gcd(c,n)=1)，(nmid (a_k-a_j))
又因为(mid a_k-a_j mid in [0,n-1]),只有(k=j)是才成立
所以B中每个元都不重复，是一个既约剩余系
(prod^{phi(n)}_{i=1} a_i * c^{phi(n)} equiv prod^{phi(n)}_{i=1} a_i (modn))
即(c^{phi(n)} equiv 1 (modn))
与费马小定理相似，证明一个带有互质乘积的集合为既约剩余系来约去数列项，最后得到结果
update:2020.5.3
扩展欧拉定理
需要注意的一点是，对于方程
(a^{(bmodphi(m)+phi(m))}(modm))
当(b>=modphi(m))时很显然成立
当(bin[0,phi(m))),只能直接计算，扩展欧拉定理在这样的情况下不一定适用
至于在何种情况下使用，还有待探究