3D几何变换

3D点：非齐次坐标x(x,y,z) (x表示向量矢量)

　　　齐次坐标：x^~=(x^~,y^~,z^~,w^~)=w^~(x,y,z,1)=w^~x^~         增广矢量：x^—=(x,y,z,1)

         w^~=0时，齐次点称作理想点或无穷远点。

3D平移：

　　  非齐次坐标：x'=x+t  即 x'=[I t]x     I是3*3的单位矩阵

        齐次坐标： x^—’=[I t; 0 1]x^—       两个自由度t₁,t₂,t₃

        3D平移保持方向一致。

3D旋转+平移：（3D刚体运动，3D欧式变换）

       非齐次坐标：x'=Rx+t  即 x'=[R t]x     R是3*3的正交旋转矩阵，RR^T=I, |R|=1

       齐次坐标： x^—’=[R t; 0 1]x^—       六个自由度t₁,t₂,t₃，R的三个参数

　　 一般用x'=R(x-c)=Rx-Rc, c是旋转中心，通常是摄像机中心。

       3D欧式变换保持欧式距离，长度不变。

3D放缩旋转平移：

       非齐次坐标：x'=sRx+t  即 x'=[sR t]x     R是3*3的正交旋转矩阵，RR^T=I, |R|=1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　s是尺度因子(一个值)，sR=[a -b; b a]

       齐次坐标： x^—’=[sR t; 0 1]x^—       七个自由度t₁,t₂,t₃，R的三个参数,s

       3D相似变换保持直线与平面间的夹角不变。

3D仿射变换：

       齐次坐标： x^—’=Ax^—    A 是3*4矩阵，A=[a₀₀ a₀₁ a₀₂ a₀₃; a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃; a₂₀ a₂₁ a₂₂ a₂₃ ]  

       共有12个自由度，A中的12个参数。

       在仿射变换下，平行的线与平面仍然保持平行。

       不变的性质：平面的平行性、体积比、形心、无穷远平面。

3D投影变换：（透视变换或同态映射）

        齐次坐标： x^—’=H^— x^—   H^—是任意的4*4齐次矩阵，也是非奇异矩阵，只相差在一个尺度量的情况下定义的。仅仅尺度量不同的两个H^—是等同的。

　　　　　　　　　　　　　　 H^—=[h₁ h₂ h₃ h₄; h₅ h₆ h₇ h₈; h₉ h₁₀ h₁₁ h₁₂ ; h₁₃ h₁₄ h₁₅ h₁₆ ]

                                         H的16个元素中有15个独立比率，因此一个投影变换有15个自由度（七个用于相似变换部分：旋转三个、位移三个、均匀缩放一个；五个用于仿射变换部分；三个用于射影变换部分）。

       投影变换保持直线性(直线在变换后仍然是直线)。

自由度：当以样本的统计量来估计总体的参数时， 样本中独立或能自由变化的自变量的个数，称为该统计量的自由度。

3D坐标变换的层次

变换	矩阵	自由度数	保持性质	图标	失真
平移	[I|t]3*4	3	方向	□
刚氏	[R|t]3*4	6	长度 体积	◇
相似	[sR|t]3*4	7	夹角	♦
仿射	[A]3*4	12	平行性	平行四边形
投影	[H-]4*4	15	直线性	梯形

     

　　　　　　　　

注：表中的下层的变换都能产生上层变换的所有行为。

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