错排公式

**全错排：**n封信放入n个信封，要求全部放错，共有多少种放法，记n个元素的错排总数为f(n)

方法一：
某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。
当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：
1.当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。
2.前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1)。
3.后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)。

基本形式：*d[1]=0; d[2]=1 递归式：**d[n]= (n-1)( d[n-1] + d[n-2])

方法二：
假设有n封信，第一封信可放在(2-n)的任一个信封里，共n-1种放法，设第一封信放在了第k个信封里，若此时第k封信放在了第1个信封里，则只要将剩下的n-2错排，即f(n-2)，若第k封信没有放在了第1个信封里，可将第1封信的位置看成是“第k个位置”，即将n-1封信错排，即为f(n-1)
由递推可得,f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

#include<iostream>   
using namespace std;  
int Fun(int);  
int main(){  
    int n,res;  
    cout<<"input a number:"<<endl;  
    cin>>n;  
    res=Fun(n);  
    cout<<"There are "<<res<<" cases."<<endl;  
    return 0;  
}  
int Fun(int n){  
    if(n==1)  return 0;  
    if(n==2)  return 1;  
    return (n-1)*(Fun(n-1)+Fun(n-2));  
}  

容斥原理

用容斥原理也可以推出错排公式:

正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种;当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列;但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上;在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除;……;继续这一过程，得到错排的排列种数为

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1)^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,

即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + … + (-1)^n/n!].

其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围;0! = 1，可以和1!相消。