例题：FroggerPOJ - 2253 链接 https://vjudge.net/problem/POJ-2253
1. Floyd算法
算法思想：用mp[i][j]来表示i到j之间的距离，先对mp数组初始化，然后根据输入录入已知的i和j之间的距离，然后三重循环，第一重用k表示i和j之外的数，第二重为i，第三重为j。改变的思路是如果i到j之间的距离比i到k加上k到j之间的距离，则改变大小。时间复杂度为O(n^3).适合n比较小的题。
代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <fstream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <deque> 6 #include <vector> 7 #include <queue> 8 #include <string> 9 #include <cstring> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <set> 13 #include <sstream> 14 #include <iostream> 15 #define mod 998244353 16 #define eps 1e-6 17 #define ll long long 18 #define INF 0x3f3f3f3f 19 using namespace std; 20 21 //ma用来存放两个石头之间的距离 22 double ma[210][210]; 23 int main() 24 { 25 //x,y数组存放地点 26 double x[210],y[210]; 27 int n,ans=1; 28 //n为0时退出 29 while(scanf("%d",&n)&&n) 30 { 31 int a,b; 32 for(int i=1;i<=n;i++) 33 { 34 scanf("%lf %lf",&x[i],&y[i]); 35 } 36 //初始化ma数组为0，是为了保证求的是最大距离中的小距离 37 memset(ma,0,sizeof(ma)); 38 for(int i=i=1;i<=n;i++) 39 { 40 for(int j=1;j<=n;j++) 41 { 42 //录入两个石头之间的距离 43 ma[i][j]=ma[j][i]=sqrt(pow(x[i]-x[j],2.0)+pow(y[i]-y[j],2.0)); 44 } 45 } 46 //Floyd算法核心 47 for(int k=1;k<=n;k++) 48 { 49 for(int i=1;i<=n;i++) 50 { 51 for(int j=1;j<=n;j++) 52 { 53 //许多通路中最大距离中的最小距离 54 ma[i][j]=min(ma[i][j],max(ma[i][k],ma[k][j])); 55 } 56 } 57 } 58 printf("Scenario #%d Frog Distance = %.3lf ",ans++,ma[1][2]); 59 } 60 61 }
2.Digkstra算法
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
问题描述：一个有权图，Dijkstra算法可以计算任意节点到其他节点的最短路径
算法思路
- 指定一个节点，例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径
- 引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，
A->C由于没有直接相连 初始时为∞） - 初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，
A->A = 0，
U集合初始时为A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞，敲黑板！！！接下来要进行核心两步骤了 - 从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如
A->D = 2 - 更新U集合路径，
if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' )则更新U - 循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径
算法图解
1.选定A节点并初始化，如上述步骤3所示
2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合
3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' < 'A 到 C,E 的距离' ) ，如图所示这时候A->B距离 其实为 A->D->B
- 思路就是这样，往后就是大同小异了
- 算法结束
1 #include <cstdio> 2 #include <fstream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <deque> 6 #include <vector> 7 #include <queue> 8 #include <string> 9 #include <cstring> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <set> 13 #include <sstream> 14 #include <iostream> 15 #define mod 998244353 16 #define eps 1e-6 17 #define ll long long 18 #define INF 0x3f3f3f3f 19 using namespace std; 20 21 //dis用来存放到1之间的距离 22 double dis[310]; 23 //ma用来存放两个石头之间的距离 24 double ma[210][210]; 25 void dijkstra(int m) 26 { 27 int i; 28 //vis数组标记已经找过的最短路 29 bool vis[1010]; 30 memset(vis,0,sizeof(vis)); 31 for(int i=1;i<=m;i++) 32 { 33 dis[i]=INF; 34 } 35 dis[1]=0; 36 for(int i=1;i<=m;i++) 37 { 38 //mi记录当前到1距离最小的值 39 double mi=INF; 40 //k表示到1距离最小的点 41 int k=1; 42 for(int j=1;j<=m;j++) 43 { 44 //当未标记这个点，并且这个点到1的距离时最小的时侯成立， 45 if(!vis[j]&&mi>dis[j]) 46 { 47 mi=dis[j]; 48 k=j; 49 } 50 } 51 //已找到1到k点的最小值，所以标记这个点 52 vis[k]=1; 53 for(int j=1;j<=m;j++) 54 { 55 //所有通路中最大距离中的最小数 56 dis[j]=min(dis[j],max(dis[k],ma[k][j])); 57 } 58 } 59 } 60 61 int main() 62 { 63 //x,y数组存放地点 64 double x[210],y[210]; 65 int n,ans=1; 66 //n为0时退出 67 while(scanf("%d",&n)&&n) 68 { 69 int a,b; 70 for(int i=1;i<=n;i++) 71 { 72 scanf("%lf %lf",&x[i],&y[i]); 73 } 74 //初始化ma数组为0，是为了保证求的是最大距离中的小距离 75 memset(ma,0,sizeof(ma)); 76 for(int i=i=1;i<=n;i++) 77 { 78 for(int j=1;j<=n;j++) 79 { 80 //录入两个石头之间的距离 81 ma[i][j]=ma[j][i]=sqrt(pow(x[i]-x[j],2.0)+pow(y[i]-y[j],2.0)); 82 } 83 } 84 dijkstra(n); 85 printf("Scenario #%d Frog Distance = %.3lf ",ans++,dis[2]); 86 } 87 88 }
3.SPFA算法
算法优点：
1.时间复杂度比普通的Dijkstra和Ford低。
2.能够计算负权图问题。
3.能够判断是否有负环 (即：每跑一圈，路径会减小，所以会一直循环跑下去)。
算法思想：
我们用数组记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。
我们采取的方法是动态逼近法：
1.设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点。
2.优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。
3.这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
实现方法：
1.存入图。可以使用链式前向星或者vocter。
2.开一个队列，先将开始的节点放入。
3.每次从队列中取出一个节点X，遍历与X相通的Y节点，查询比对 Y的长度 和 X的长度+ X与Y的长度
如果X的长度+ X与Y的长度 > Y的长度,说明需要更新操作。
1）.存入最短路。
2）.由于改变了原有的长度，所以需要往后更新，与这个节点相连的最短路。(即：判断下是否在队列，在就不用重复，不在就加入队列，等待更新)。
3）.在这期间可以记录这个节点的进队次数，判断是否存在负环。
4.直到队空。
判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环
模拟过程：
首先建立起始点a到其余各点的最短路径表格
首先源点a入队，当队列非空时：
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：
在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d
2，队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要入队，此时队列中的元素为c，d，e
3，队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f
4，队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g
5，队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e
6，队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，
7，b队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b
8，队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了
最终a到g的最短路径为１４
例题：
https://www.cnblogs.com/mzchuan/p/11521348.html
代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <fstream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <deque> 6 #include <vector> 7 #include <queue> 8 #include <string> 9 #include <cstring> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <set> 13 #include <sstream> 14 #include <iostream> 15 #define mod 998244353 16 #define eps 1e-6 17 #define ll long long 18 #define INF 0x3f3f3f3f 19 using namespace std; 20 const int maxn=150010; 21 //n,m代表点数和边数 22 int n,m; 23 //x代表与之相连的点，y代表边的价值,next代表当前边起点的位置 24 struct node 25 { 26 int x,y,next; 27 }; 28 //no数组存放边的数据 29 node no[maxn]; 30 //head存放每条边的位置,ans表示第几条边 31 int head[maxn],ans; 32 //dis表示起点到其他边的最短长度 33 int dis[30010]; 34 //vis表示此点是否已是最短路 35 bool vis[30010]; 36 void spfa() 37 { 38 //stackbiqueue更节约时间， 39 stack<int> qu; 40 qu.push(1); 41 //初始化 42 memset(dis,INF,sizeof(dis)); 43 memset(vis,0,sizeof(vis)); 44 vis[1]=1; 45 dis[1]=0; 46 //为空时退出 47 while(!qu.empty()) 48 { 49 int s=qu.top(); 50 qu.pop(); 51 //由于当钱点数据一边，所以要更新与之相连的所有点直接按的距离 52 vis[s]=0; 53 //从当前点开始直到与之相连的点 54 for(int i=head[s];i!=-1;i=no[i].next) 55 { 56 //en表示与起点相连的点 57 int en = no[i].x; 58 //更新最小操作 59 if(dis[en]>dis[s]+no[i].y) 60 { 61 dis[en]=dis[s]+no[i].y; 62 if(!vis[en]) 63 { 64 vis[en]=1; 65 qu.push(en); 66 } 67 } 68 } 69 } 70 } 71 72 int main() 73 { 74 ans=0; 75 scanf("%d %d",&n,&m); 76 int a,b,c; 77 //初始化 78 memset(head,-1,sizeof(head)); 79 for(int i=0;i<m;i++) 80 { 81 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c); 82 //存放边 83 no[ans].x=b; 84 no[ans].y=c; 85 no[ans].next=head[a]; 86 head[a]=ans++; 87 } 88 spfa(); 89 printf("%d ",dis[n]); 90 }
4.Bellman-Ford算法
算法作用：(主要用来求是否有正负环)
算法思想：Bellman-Ford 算法计算最短路径的过程中，使用了上述的松弛函数，通过对路径的不断松弛，来逐渐获取最短路径。
Bellman-Ford算法可以检测带权有向图中是否存在负权回路，由松弛函数可知正常情况下，如果图中不存在负权回路，那么即使在最坏情况下，也只需要执行次迭代松弛，即可获得从起点到各顶点的最短路径。
若图中存在负权回路，当回路较小时，例如顶点自身或者两个顶点之间的负权回路，则在值更新为负值，所以可以多执行一次迭代，通过判断是否更新从起点到某个顶点的最短路径权值，来判断图中是否存在负权回路。
例题：https://www.cnblogs.com/mzchuan/p/11490895.html
代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <fstream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cmath> 5 #include <deque> 6 #include <vector> 7 #include <queue> 8 #include <string> 9 #include <cstring> 10 #include <map> 11 #include <stack> 12 #include <set> 13 #include <sstream> 14 #include <iostream> 15 #define mod 998244353 16 #define eps 1e-6 17 #define ll long long 18 #define INF 0x3f3f3f3f 19 using namespace std; 20 21 //用于存放货币的转换 22 struct node 23 { 24 //x源来的钱的种类，b转换后钱的种类 25 int x,y; 26 //s表示汇率 27 double s; 28 }; 29 //ve表示有多少个汇率 30 vector<node> ve; 31 //mp用于给货币种类编号 32 map<string,int> mp; 33 //dis表示起点转换成其他点后的钱数 34 double dis[35]; 35 //bellman用于判断是否有正环 36 //n表示有了n个点，v表示起点 37 bool bellman(int n,int v) 38 { 39 //初始钱数为0； 40 for(int i=1;i<=n;i++) 41 { 42 dis[i]=0; 43 } 44 //将起点的钱数设为1，为方便计算 45 dis[v]=1; 46 //n-1次遍历 47 for(int i=1;i<n;i++) 48 { 49 //对每个汇率进行遍历 50 for(int j=0;j<ve.size();j++) 51 { 52 int a=ve[j].x; 53 int b=ve[j].y; 54 //更新b之间的钱数 55 if(dis[b]<dis[a]*ve[j].s) 56 { 57 dis[b]=dis[a]*ve[j].s; 58 } 59 } 60 } 61 //在进行一次遍历，判断是否有正环 62 for(int j=0;j<ve.size();j++) 63 { 64 int a=ve[j].x; 65 int b=ve[j].y; 66 //如果钱还能增加，则有正环 67 if(dis[b]<dis[a]*ve[j].s) 68 { 69 return true; 70 } 71 } 72 return false; 73 } 74 int main() 75 { 76 int n,ans=1; 77 while(scanf("%d",&n)&&n!=0) 78 { 79 string str; 80 for(int i=1;i<=n;i++) 81 { 82 cin>>str; 83 //对钱的种类进行标记 84 mp[str]=i; 85 } 86 int m; 87 scanf("%d",&m); 88 string a,b; 89 node no; 90 for(int i=0;i<m;i++) 91 { 92 cin>>a>>no.s>>b; 93 no.x=mp[a]; 94 no.y=mp[b]; 95 //记录汇率 96 ve.push_back(no); 97 } 98 printf("Case %d: ",ans++); 99 //枚举所有的起点 100 for(int i=1;i<=n;i++) 101 { 102 //判断有正环 103 if(bellman(n,i)) 104 { 105 printf("Yes "); 106 break; 107 }//如果到最后一个起点后海没有正环，则表示财富无法增加 108 else if(i==n) 109 { 110 printf("No "); 111 } 112 } 113 //清除STL容器的内存 114 ve.clear(); 115 mp.clear(); 116 } 117 }