汉诺塔问题

1 问题描述

有A，B，C三个柱子，A柱子上从上到下，从小到大排列着n个圆盘。现要求将A柱子上的n个圆盘全部移动到C柱子上，依然按照从上到下，从小到大的顺序排列。且对移动过程要求如下：

a）一次只能移动一个盘子。

b）移动过程中大盘子不允许出现在小盘子上方。

问：总共需要移动的步数是多少？

2 化繁为简，分析题目

从宏观角度来分析，将移动步骤分为三步：

a）将最上面的n-1个盘子移动到B柱子上

b）将最大的盘子移动到C柱子上

c）再将B柱子上的n-1个盘子移动到C柱子上

完成以上三步，即可达到目标。因此，问题转化为如何移动n-1个盘子？同样的思路解决n-1个盘子移动的问题，可以发现其中规律。假设移动n个盘子需要的步数为f(n)，则移动n-1个判断需要f(n-1)步。

因此，得到递推公式：f(n) = 2 * f(n - 1) + 1

3 求解递推公式

将上一步的递推式进行变形：f(n) + 1 = 2(f(n - 1) + 1)，设q(n) = f(n) + 1， 则q(n) = 2q(n-1)， q(n) / q(n-1) = 2，可见q(n) 是一个等比序列，q(1) = 2，因此q(n) = 2^n(n >= 1)， f(n) = 2^n - 1。

4 java编程实现递归算法

public class TowerOfHanoi {

    // 统计移动次数
    static int count = 0;

    public static void main(String[] args) {
        char a = 'A';
        char b = 'B';
        char c = 'C';
        int n = 3;
        TowerOfHanoi test = new TowerOfHanoi();
        test.recurse(n, a, b, c);
        System.out.println(count);
    }

    // 移动一次
    private void move(int n, char from, char to){
        count = count + 1;
        System.out.println("将圆盘" + n + "号, 从" + from + "移动到" + to);
    }

    // 递归
    private void recurse(int n, char a, char b, char c){
        // 递归结束条件：n == 1，只一个盘子时
        if (n == 1){
            move(1, a, c);
        } else {
            recurse(n - 1, a, c, b);
            move(n, a, c);
            recurse(n - 1, b, a, c);
        }
    }
}