胜者树和败者树

　　胜者树和败者树都是完全二叉树，是树形选择排序的一种变型。每个叶子结点相当于一个选手，每个中间结点相当于一场比赛，每一层相当于一轮比赛。

      不同的是，胜者树的中间结点记录的是胜者的标号；而败者树的中间结点记录的败者的标号。

       胜者树与败者树可以在log(n)的时间内找到最值。任何一个叶子结点的值改变后，利用中间结点的信息，还是能够快速地找到最值。在k路归并排序中经常用到。

　　一.胜者树

　　胜者树的一个优点是，如果一个选手的值改变了，可以很容易地修改这棵胜者树。只需要沿着从该结点到根结点的路径修改这棵二叉树，而不必改变其他比赛的结果。

如图：

　　

　　Fig.1是一个胜者树的示例。规定数值小者胜。

　　1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；

　　2.         b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为3；

　　3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；

　　4.         b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为3。

　　当Fig. 1中叶子结点b3的值变为11时，重构的胜者树如Fig. 2所示。

　　

　　1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为3；

　　2.         b3 PK b0，b0胜b3负，内部结点ls[2]的值为0；

　　3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为1；

　　4.         b0 PK b1，b1胜b0负，内部结点ls[1]的值为1。.

　　二.败者树

       败者树是胜者树的一种变体。在败者树中，用父结点记录其左右子结点进行比赛的败者，而让胜者参加下一轮的比赛。败者树的根结点记录的是败者，需要加一个结点来记录整个比赛的胜利者。采用败者树可以简化重构的过程。

     

                                       Fig.3

　　Fig. 3是一棵败者树。规定数大者败。

　　1.         b3 PK b4，b3胜b4负，内部结点ls[4]的值为4；

　　2.         b3 PK b0，b3胜b0负，内部结点ls[2]的值为0；

　　3.         b1 PK b2，b1胜b2负，内部结点ls[3]的值为2；

　　4.         b3 PK b1，b3胜b1负，内部结点ls[1]的值为1；

　　5.         在根结点ls[1]上又加了一个结点ls[0]=3，记录的最后的胜者。

　　败者树重构过程如下：

·            将新进入选择树的结点与其父结点进行比赛：将败者存放在父结点中；而胜者再与上一级的父结点比较。

·            比赛沿着到根结点的路径不断进行，直到ls[1]处。把败者存放在结点ls[1]中，胜者存放在ls[0]中。

　　

　　Fig. 4是当b3变为13时，败者树的重构图。

　　注意，败者树的重构跟胜者树是不一样的，败者树的重构只需要与其父结点比较。对照Fig. 3来看，b3与结点ls[4]的原值比较，ls[4]中存放的原值是结点4，即b3与b4比较，b3负b4胜，则修改ls[4]的值为结点3。同理，以此类推，沿着根结点不断比赛，直至结束。

        由上可知，败者树简化了重构。败者树的重构只是与该结点的父结点的记录有关，而胜者树的重构还与该结点的兄弟结点有关。