【数据结构与算法】【左神】01-复杂度和简单排序算法

1 时间复杂度

1.1 常数操作

　　如果一个操作和样本的数据量没有关系，每次都在固定时间内完成，就称其为常数操作。

　　譬如根据下标从数组中取出元素的操作，与 array 中的元素个数无关，因此是常数操作。如果换成链表，想获取某个位置的元素，需要从头开始遍历，就不是常数操作了。

1.2 什么是时间复杂度

　　时间复杂度为一个算法流程中，常数操作数量的一个指标。通常用 O（读作 big O）来表示。

1.3 时间复杂度的表示

　　具体到某个算法流程，就是总结出这个算法流程中发生的常数操作数量的表达式。在这个表达式中，去掉低阶项和高阶项的系数，最后剩下的部分为 f(N)。我们称时间复杂度为 O(f(N))。

1.4 时间复杂度的优劣评判

　　比较两个算法流程的优劣，首先看时间复杂度 O(f(N))。如果 O(f(N)) 能区分开，则以 O(f(N)) 为准。但有时两个算法流程的 O(f(N)) 相同，此时就要分析不同数据样本下的实际运行时间，即“常数项时间”。之所以要分析实际运行时间，是因为不同算法流程的最高项前的系数可能不同，所谓“常数操作”的实际动作也不同（譬如一个是乘法，一个是位运算）。在这种情况下，无法通过理论值区分，只能实际运行后对比。

1.5 数据对时间复杂度的影响

　　在下文中，我们将会介绍几种排序算法。和选择排序、冒泡排序相比，插入排序较为特殊。插入排序的时间复杂度并非固定，而是和传入的数据情况有关。譬如传入的数组是 [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]，时间复杂度为 O(N²)。传入的数组是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，时间复杂度为 O(N)。这就引出了以下规则：

　　算法流程按最差情况来估计时间复杂度。

2 额外空间复杂度

　　额外空间复杂度是指对于某个算法流程需要多少额外空间。如果只需要有限的几个变量，则额外空间复杂度为 O(1)。如果需要开辟与原数组相同的额外数组，则额外空间复杂度为 O(N)。

3 补充：异或运算（^）

3.1 异或运算的基本理解

　　异或运算，两个操作数不同时运算结果为 1，相同时结果为 0。

　　异或运算还可以理解为无进位相加。譬如 a 为 0b10110，b 为 0b00111，a^b 为 10001。

3.2 异或运算的性质

　　（1）0 ^ N = N

　　（2）N ^ N = 0

　　（3）异或运算满足交换律、结合律

3.3 利用异或运算实现 swap

public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}

　　上述代码中用到的 swap 方法，就是利用 2.4.2 中的异或运算性质实现的。

　　注意，这种方式能够正确应用的前提是，a 和 b 指向两块不同的内存。如果 a 和 b 指向同一块内存，相当于自己和自己异或，结果会把自己清零。由于这个限制，在实际应用中要谨慎使用异或运算来实现 swap。

3.4 关于异或的面试题

　　已知一个整型数组 arr，请针对以下两种情况分别求解。要求时间复杂度为 O(N)，额外空间复杂度为 O(1)。

　　（1）只有一个数出现奇数次，其余数出现偶数次。求出现奇数次的数是多少？

　　（2）只有两个数出现奇数次，且这两个数不相等。其余数出现偶数次。求出现奇数次的数是多少？

　　第一问很简单，数组中的数异或到一起，出现偶数次的数会被消掉，结果就是出现奇数次的数。代码如下：

public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
    int eor = 0;

    for (int tmp : arr) {
        eor ^= tmp;
    }

    System.out.println("The number is: " + eor);
}

　　在理解第一问的基础上，我们再来看看第二问。现在数组中有两个出现奇数次的数，我们不妨设其为 a 和 b。对整个数组进行异或运算，得到的结果为 a^b。由于 a≠b，所以 a^b 一定有某一位不为 0。接下来，根据这一位是否为 0，可以将整个数组拆分为两个第一问中的数组。对拆分出的两个数组分别求异或，即可求得 a 和 b。代码如下：

public static void printOddTimesNum2(int[] arr) {
    int eor = 0;

    for (int tmp : arr) {
        eor ^= tmp;
    }

    int lastOne = eor & (~eor + 1);
    int firstNum = 0;

    for (int tmp : arr) {
        if ((lastOne & tmp) != 0) {
            firstNum ^= tmp;
        }
    }

    System.out.println("The first number is: " + firstNum + ", the second number is: " + (eor ^ firstNum));
}

4 选择排序

4.1 选择排序的原理

　　第一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小（大）元素，然后放到已排序的序列的末尾。以此类推，直到待排序数据元素个数为零。

4.2 选择排序代码示例

public static void selectionSort(int[] arr) {
    
    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }

    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { // i ~ N - 1
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1 ; j < arr.length; j++) { // i ~ N - 1 上找最小值的下标
            minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
        }
        swap(arr, i, minIndex);
    }

} 

4.3 选择排序的时间复杂度和额外空间复杂度

　　时间复杂度 O(N²)。额外空间复杂度 O(1)。

5 冒泡排序

5.1 冒泡排序的原理

　　冒泡排序重复地遍历待排序的元素序列，依次比较两个相邻的元素，如果顺序错误则交换。遍历重复进行，直到没有相邻元素需要交换。

5.2 冒泡排序代码示例

public static void bubbleSort(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }

    for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) { // 0 ~ e
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                swap(arr, i, i + 1);
            }
        }
    }
}

// 交换 arr 的 i 和 j 位置上的值
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
    arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}

5.3 冒泡排序的时间复杂度和额外空间复杂度

　　时间复杂度 O(N²)。额外空间复杂度 O(1)。

6 插入排序

6.1 插入排序的原理

　　在待排序的元素中，假设前面 n-1（n>=2）个数已经是排好顺序的，现将第 n 个数插到前面已经排好的序列中，使得插入第 n 个数的这个序列也是排好顺序的。按照此法对所有元素进行插入，直到整个序列排为有序的过程，称为插入排序。

　　以数组 [5, 6, 2, 3, 7, 3, 1] 为例，插入排序的过程如下：

　　对下标 0～0 的数排序。此时只有一个数，无需交换。数组为 [5, 6, 2, 3, 7, 3, 1]。

　　对下标 0～1 的数排序。此时已经有序，无需交换。数组为 [5, 6, 2, 3, 7, 3, 1]。

　　对下标 0～2 的数排序。首先交换 6 和 2，数组变为 [5, 2, 6, 3, 7, 3, 1]。再交换 5 和 2，数组变为 [2, 5, 6, 3, 7, 3, 1]。

　　对下标 0～3 的数排序。首先交换 6 和 3，数组变为 [2, 5, 3, 6, 7, 3, 1]。再交换 5 和 3，数组变为 [2, 3, 5, 6, 7, 3, 1]。

　　对下标 0～4 的数排序。此时已经有序，无需交换。数组为 [2, 3, 5, 6, 7, 3, 1]。

　　对下标 0～5 的数排序。首先交换 7 和 3，数组变为 [2, 3, 5, 6, 3, 7, 1]。再交换 6 和 3，数组变为 [2, 3, 5, 3, 6, 7, 1]。再交换 5 和 3，数组变为 [2, 3, 3, 5, 6, 7, 1]。

　　对下标 0～6 的数排序。首先交换 7 和 1，数组变为 [2, 3, 3, 5, 6, 1, 7]。再交换 6 和 1，数组变为 [2, 3, 3, 5, 1, 6, 7]。再交换 5 和 1，数组变为 [2, 3, 3, 1, 5, 6, 7]。再交换第二个 3 和 1，数组变为 [2, 3, 1, 3, 5, 6, 7]。再交换第一个 3 和 1，数组变为 [2, 1, 3, 3, 5, 6, 7]。再交换 2 和 1，数组变为 [1, 2, 3, 3, 5, 6, 7]。

6.2 插入排序代码示例

public static void insertionSort(int[] arr) {

    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }

    // 0~0 有序的
    // 0～i 想有序
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 0~i 做到有序
        for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
            swap(arr, j, j + 1);
        }
    }
}

6.3 插入排序的时间复杂度和额外空间复杂度

　　时间复杂度 O(N²)，额外空间复杂度 O(1)。

7 二分法

7.1 在一个有序数组中，找某个数是否存在

　　如果用遍历的方式查找，则时间复杂度为 O(N)。在数组有序的前提下，可以使用二分法进行查找，时间复杂度为 O(log N)。

7.2 在一个有序数组中，找 ≥ 某个数最左侧的位置

　　使用一个变量 t 来记录当前找到的最左侧下标。

7.3 局部最小值问题

　　在一个数组中，如果某个元素小于其相邻元素，则称其为局部最小。现有一无序数组 arr，其相邻元素一定不相等，求其中任意一个局部最小。

　　首先判断下标为 0 和下标为 N-1 的元素是否为局部最小，如是则直接返回。如下标为 0 和下标为 N-1 的元素均非局部最小，则数组头部为向下趋势，尾部为向上趋势，其中必存在局部最小（注意前置条件为数组中每个元素都不相同）。

　　此时使用二分，判断中点元素是否为局部最小。如不是，则判断其左右趋势，决定取左侧部分还是右侧部分。实际上，这种二分是利用数组中元素大小变化趋势来实现的。

7.4 二分法的应用条件

　　通过 7.3 中的问题，应当认识到，二分并非仅能应用于有序序列。在特定的数据状况和问题条件下，对于无序序列也有可能应用二分法。

　　对于流程的优化，通常也就是数据状况和问题条件这两个方向。

8 对数器

8.1 对数器的概念

　　对数器是一种测试的手段，通过对数器，我们可以摆脱对 OJ 的依赖。其原理简述如下：

　　假设方法 a 是我们想验证的方法（譬如二分查找）。方法 b 是实现复杂度较差，但容易实现的方法（譬如遍历查找）。我们先写一个随机样本发生器，用 a 和 b 分别跑相同的随机样本，对比测试结果是否相同。如果有某个随机样本得到的结果不一致，可以缩小随机样本的规模，添加打印信息，进行人工修正。如果使用大规模随机样本测试，方法 a 和 b 的运算结果仍一致，即可确定方法 a 的正确性。

8.2 对数器代码示例

/*
 * 函数: comparator
 * 功能: 对数器方法，即上述说明中的方法b
 */
public static void comparator(int[] arr) {
    Arrays.sort(arr);
}

/*
 * 函数: generateRandomArray
 * 功能: 生成随机数组（长度、值均随机）
 * 补充说明: 
 *      Math.random()             ->  [0, 1)    中所有的小数，等概率返回一个
 *      Math.random() * N         ->  [0, N)    中所有的小数，等概率返回一个
 *      (int)(Math.random() * N)  ->  [0, N-1]  中所有的整数，等概率返回一个
*/
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
    int[] arr = new int[(int)(Math.random() * (maxSize + 1))]; // 长度随机
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        arr[i] = (int)(Math.random() * (maxValue + 1)) - (int)(Math.random() * maxValue); // 值随机
    }
    return arr;
}

/*
 * 函数: copyArray
 * 功能: 复制数组，用于对数器方法的测试
 */
public static int[] copyArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
        return null;
    }
    int[] res = new int[arr.length];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        res[i] = arr[i];
    }
    return res;
}

/*
 * 函数: isEqual
 * 功能: 判断数组是否相等
 */
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
    if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
        return false;
    }

    if (arr1 == null && arr2 == null) {
        return true;
    }

    if (arr1.length != arr2.length) {
        return false;
    }

    for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
        if (arr1[i] != arr2[i]) {
            return false;
        }
    }
    
    return true;
}

/*
 * 函数: printArray
 * 功能: 打印数组元素
 */
public static void printArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        System.out.print(arr[i] + " ");
    }
    System.out.println();
}

// for test
public static void main(String[] args) {
    int testTime = 500000;
    int maxSize = 100;
    int maxValue = 100;
    boolean succeed = true;
    for (int i = 0; i < testTime; i++) {
        int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue); // [-100, 100]
        int[] arr2 = copyArray(arr1); 
        insertionSort(arr1);
        comparator(arr2);
        if (!isEqual(arr1, arr2)) {
            succeed = false;
            break;
        }
    }
    System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

    int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
    printArray(arr);
    insertionSort(arr);
    printArray(arr);
}

9 剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算

9.1 递归方法找数组中最大值

　　用递归方法找一个数组中的最大值，代码如下：

public class GetMax {

    public static int getMax(int[] arr) {
        return process(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int process(int[] arr, int L, int R) {
        if (L == R) {
            return arr[L];
        }

        int mid = L + ((R - L) >> 1);
        int leftMax = process(arr, L, mid);
        int rightMax = process(arr, mid + 1, R);

        return Math.max(leftMax, rightMax);
    }
}

　　注意 line 12 的求中点算法。通常可能写成 mid = (L + R) / 2; 。这种算法是有问题的，在数组长度很大的情况下， L + R 可能溢出。更可靠的版本是 mid = L + (R - L) / 2; 。进一步简化： mid = L + (R - L) >> 1; 。右移操作比除法操作速度快。

9.2 master 公式

　　T(N) = a * T(N/b) + O(N^d)。

　　T(N) 是指母问题的数据量是 N 级别的。T(N/b) 是指子问题的数据量都是 N/b 级别的。a 是子问题的调用次数。O(N^d) 是指除了子问题调用之外，剩余部分的时间复杂度。符合以上规律的递归，可以用 master 公式来求解时间复杂度。

　　以上描述可能过于抽象，我们还是以 9.1 中求数组最大值为例进行说明。由于 process 函数每轮递归都被拆成两个等量的子问题，所以可以应用 master 公式。T(N) = 2 * T(N/2) + O(N⁰)。

　　确定 a、b、d 之后，即可使用以下公式计算时间复杂度：

　　（1）log_b a > d    复杂度为 O(N^log_b a)

　　（2）log_b a = d    复杂度为 O(N^d * log N)

　　（3）log_b a < d    复杂度为 O(N^d)

　　补充阅读：算法的复杂度与 Master 定理。