之所以会出现完全二叉树的概念,是因为可由此在物理上,以线性表的方式实现逻辑上的完全二叉树。
- 完全二叉树的叶子节点只能出现在最底部两层;
1. 完全二叉树
对于一棵高度为
2. 完全二叉树的性质
我自己得到的一些结论如下:
- 从 0 开始编号,编号为奇数的必定在左子节点,编号为偶数的必定在右子节点;
- 对某一个内部结点(internal node)而言,不可能出现有右子节点,而没有左子节点的情况;
- 完全二叉树与线性结构有自然的双向映射;
n 个结点的完全二叉树的叶节点的范围是n2∼n
- 也即对完全二叉树而言,(后)一半是叶节点,(前)一半是内部结点(包括根节点)
n 个结点的完全二叉树高度为⌊log2n⌋ 证,设完全二叉树
T 包含n 个结点,高度是h 。则n 与h 的关系为:
2h−1<n≤2h+1−1 也即
2h≤n<2h+1 ,两边同时取对数得h≤log2n<h+1 。可见h 为不大于log2n 的最大整数;(完全二叉树)如果
n 个结点的完全二叉树的结点按层次并按从左到右的顺序从 0 开始编号,对任一节点i (0≤i≤n−1 )都有:- 序号为 0 的结点是根节点;
- 对于
i>0 ,其父节点的编号为i−12 ; - 对于
2×i+1<n ,其左子节点序号为2×i+1 ,否则无左子节点; - 对于
2×i+2<n ,其左子节点序号为2×i+2 ,否则无右子节点;
证明如下,使用数学归纳法,
i⇒i−12 ⇒i+1⇒i2 - 证:当
i 为左节点时,i+1 为其父节点的右结点,也即i+1 与i 为同一父节点的兄弟节点,此时i2 与i−12 相等,因为要取整数 - 当
i 为右结点时(i 为偶数), 则i+1 结点的父节点为i−12+1 ,
- 证:当
i⇒2×i+1 ⇒i+1⇒2×i+3 同样,分
i 为左节点和右节点,进行证明,- 左节点时,
i+1 为其兄弟节点,显然其左子节点为2i+3 - 右节点时,根据推算,
i+1 (与2i+1 、2i+2 在同一层) 结点的左子节点为2i+3
- 左节点时,
完全二叉树的一个重要特性,如上证明,它可以十分方便地存入一个表或数组,直接根据元素下标(index)就能找到下标对应结点的子节点或父节点,无须以其他方式记录树的结构信息。
- 如果第
i 层是满的,也即第i 层有2i 个结点;根的下标是 0,第i 层元素从2i−1 的位置开始存放,连续2i 个元素都属于这一层;
- 如果第