• 从二叉树到完全二叉树


    之所以会出现完全二叉树的概念,是因为可由此在物理上,以线性表的方式实现逻辑上的完全二叉树

    • 完全二叉树的叶子节点只能出现在最底部两层;

    1. 完全二叉树

    对于一棵高度为 h 的二叉树,如果其第 0 层至 h1 层(倒数第二层)都是满的,也就是说,对所有 0ih1,第 i 层有 2i 个结点,前 h1 层的结点总数为 2h1。如果最下一层的结点不满,则所有结点从最左边开始连续排列。这样的二叉树就是一棵完全二叉树。

    2. 完全二叉树的性质

    我自己得到的一些结论如下:

    • 从 0 开始编号,编号为奇数的必定在左子节点,编号为偶数的必定在右子节点;
    • 对某一个内部结点(internal node)而言,不可能出现有右子节点,而没有左子节点的情况;
    • 完全二叉树与线性结构有自然的双向映射;
    • n 个结点的完全二叉树的叶节点的范围是 n2n
      • 也即对完全二叉树而言,(后)一半是叶节点,(前)一半是内部结点(包括根节点)
    • n 个结点的完全二叉树高度为 log2n

      证,设完全二叉树 T 包含 n 个结点,高度是 h。则 nh 的关系为:

      2h1<n2h+11

      也即 2hn<2h+1,两边同时取对数得 hlog2n<h+1。可见 h 为不大于 log2n 的最大整数;

    • (完全二叉树)如果 n 个结点的完全二叉树的结点按层次并按从左到右的顺序从 0 开始编号,对任一节点 i0in1)都有:

      • 序号为 0 的结点是根节点;
      • 对于 i>0,其父节点的编号为 i12
      • 对于 2×i+1<n,其左子节点序号为 2×i+1,否则无左子节点;
      • 对于 2×i+2<n,其左子节点序号为 2×i+2,否则无右子节点;

      证明如下,使用数学归纳法,

      • ii12i+1i2

        • 证:当 i 为左节点时,i+1 为其父节点的右结点,也即 i+1i 为同一父节点的兄弟节点,此时 i2i12 相等,因为要取整数
        • i 为右结点时(i 为偶数), 则 i+1 结点的父节点为 i12+1
      • i2×i+1i+12×i+3

        同样,分 i 为左节点和右节点,进行证明,

        • 左节点时,i+1 为其兄弟节点,显然其左子节点为 2i+3
        • 右节点时,根据推算,i+1(与 2i+12i+2 在同一层) 结点的左子节点为 2i+3
    • 完全二叉树的一个重要特性,如上证明,它可以十分方便地存入一个表或数组,直接根据元素下标(index)就能找到下标对应结点的子节点或父节点,无须以其他方式记录树的结构信息。

      • 如果第 i 层是满的,也即第 i 层有 2i 个结点;根的下标是 0,第 i 层元素从 2i1 的位置开始存放,连续 2i 个元素都属于这一层;
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