斐波那契堆

一、介绍

斐波那契堆(Fibonacci heap)是一种可合并堆，可用于实现合并优先队列。它比二项堆具有更好的平摊分析性能，它的合并操作的时间复杂度是O(1)。
与二项堆一样，它也是由一组堆最小有序树组成，并且是一种可合并堆。
与二项堆不同的是，斐波那契堆中的树不一定是二项树；而且二项堆中的树是有序排列的，但是斐波那契堆中的树都是有根而无序的。

二、斐波那契堆的基本操作

1. 基本定义

template <class T>
class FibNode {
    public:
        T key;                // 关键字(键值)
        int degree;            // 度数
        FibNode<T> *left;    // 左兄弟
        FibNode<T> *right;    // 右兄弟
        FibNode<T> *child;    // 第一个孩子节点
        FibNode<T> *parent;    // 父节点
        bool marked;        // 是否被删除第一个孩子

        FibNode(T value):key(value), degree(0), marked(false), 
            left(NULL),right(NULL),child(NULL),parent(NULL) {
            key    = value;
            degree = 0;
            marked = false;
            left   = this;
            right  = this;
            parent = NULL;
            child  = NULL;
        }
};

FibNode是斐波那契堆的节点类，它包含的信息较多。key是用于比较节点大小的，degree是记录节点的度，left和right分别是指向节点的左右兄弟，child是节点的第一个孩子，parent是节点的父节点，marked是记录该节点是否被删除第1个孩子(marked在删除节点时有用)。

template <class T>
class FibHeap {
    private:
        int keyNum;         // 堆中节点的总数
        int maxDegree;      // 最大度
        FibNode<T> *min;    // 最小节点(某个最小堆的根节点)
        FibNode<T> **cons;    // 最大度的内存区域

    public:
        FibHeap();
        ~FibHeap();

        // 新建key对应的节点，并将其插入到斐波那契堆中
        void insert(T key);
        // 移除斐波那契堆中的最小节点
        void removeMin();
        // 将other合并到当前堆中
        void combine(FibHeap<T> *other);
        // 获取斐波那契堆中最小键值，并保存到pkey中；成功返回true，否则返回false。
        bool minimum(T *pkey);
        // 将斐波那契堆中键值oldkey更新为newkey
        void update(T oldkey, T newkey);
        // 删除键值为key的节点
        void remove(T key);
        // 斐波那契堆中是否包含键值key
        bool contains(T key);
        // 打印斐波那契堆
        void print();
        // 销毁
        void destroy();

    private:
        // 将node从双链表移除
        void removeNode(FibNode<T> *node);
        // 将node堆结点加入root结点之前(循环链表中)
        void addNode(FibNode<T> *node, FibNode<T> *root);
        // 将双向链表b链接到双向链表a的后面
        void catList(FibNode<T> *a, FibNode<T> *b);
        // 将节点node插入到斐波那契堆中
        void insert(FibNode<T> *node);
        // 将"堆的最小结点"从根链表中移除，
        FibNode<T>* extractMin();
        // 将node链接到root根结点
        void link(FibNode<T>* node, FibNode<T>* root);
        // 创建consolidate所需空间
        void makeCons();
        // 合并斐波那契堆的根链表中左右相同度数的树
        void consolidate();
        // 修改度数
        void renewDegree(FibNode<T> *parent, int degree);
        // 将node从父节点parent的子链接中剥离出来，并使node成为"堆的根链表"中的一员。
        void cut(FibNode<T> *node, FibNode<T> *parent);
        // 对节点node进行"级联剪切"
        void cascadingCut(FibNode<T> *node) ;
        // 将斐波那契堆中节点node的值减少为key
        void decrease(FibNode<T> *node, T key);
        // 将斐波那契堆中节点node的值增加为key
        void increase(FibNode<T> *node, T key);
        // 更新斐波那契堆的节点node的键值为key
        void update(FibNode<T> *node, T key);
        // 在最小堆root中查找键值为key的节点
        FibNode<T>* search(FibNode<T> *root, T key);
        // 在斐波那契堆中查找键值为key的节点
        FibNode<T>* search(T key);
        // 删除结点node
        void remove(FibNode<T> *node);
        // 销毁斐波那契堆
        void destroyNode(FibNode<T> *node);
        // 打印"斐波那契堆"
        void print(FibNode<T> *node, FibNode<T> *prev, int direction);
};

FibHeap是斐波那契堆对应的类。min是保存当前堆的最小节点，keyNum用于记录堆中节点的总数，maxDegree用于记录堆中最大度，而cons在删除节点时来暂时保存堆数据的临时空间。下面是斐波那契堆的属性结构图和内存结构图的对比示例。

从中可以看出，斐波那契堆是由一组最小堆组成，这些最小堆的根节点组成了双向链表(后文称为"根链表")；斐波那契堆中的最小节点就是"根链表中的最小节点"！

2. 插入操作

插入操作非常简单：插入一个节点到堆中，直接将该节点插入到"根链表的min节点"之前即可；若被插入节点比"min节点"小，则更新"min节点"为被插入节点。

上面是插入操作的示意图。

斐波那契堆的根链表是"双向链表"，这里将min节点看作双向联表的表头(后文也是如此)。在插入节点时，每次都是"将节点插入到min节点之前(即插入到双链表末尾)"。此外，对于根链表中最小堆都只有一个节点的情况，插入操作就很演化成双向链表的插入操作。

/*
 * 将node堆结点加入root结点之前(循环链表中)
 *   a …… root
 *   a …… node …… root
*/
template <class T>
void FibHeap<T>::addNode(FibNode<T> *node, FibNode<T> *root)
{
    node->left        = root->left;
    root->left->right = node;
    node->right       = root;
    root->left        = node;
}
 
/*
 * 将节点node插入到斐波那契堆中
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::insert(FibNode<T> *node)
{
    if (keyNum == 0)
        min = node;
    else
       {
        addNode(node, min);
        if (node->key < min->key)
            min = node;
    }
    keyNum++;
}

3. 合并

合并操作和插入操作的原理非常类似：将一个堆的根链表插入到另一个堆的根链表上即可。简单来说，就是将两个双链表拼接成一个双向链表。

上面是合并操作的示意图。该操作示意图与测试程序中的"合并操作"相对应！

/*
 * 将双向链表b链接到双向链表a的后面
 *
 * 注意： 此处a和b都是双向链表
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::catList(FibNode<T> *a, FibNode<T> *b)
{
    FibNode<T> *tmp;

    tmp            = a->right;
    a->right       = b->right;
    b->right->left = a;
    b->right       = tmp;
    tmp->left      = b;
}

  
/*
 * 将other合并到当前堆中
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::combine(FibHeap<T> *other)
{
    if (other==NULL)
        return ;

    if(other->maxDegree > this->maxDegree)
        swap(*this, *other);

    if((this->min) == NULL)                // this无"最小节点"
    {
        this->min = other->min;
        this->keyNum = other->keyNum;
        free(other->cons);
        delete other;
    }
    else if((other->min) == NULL)           // this有"最小节点" && other无"最小节点"
    {
        free(other->cons);
        delete other;
    }                                       // this有"最小节点" && other有"最小节点"
    else
    {
        // 将"other中根链表"添加到"this"中
        catList(this->min, other->min);

        if (this->min->key > other->min->key)
            this->min = other->min;
        this->keyNum += other->keyNum;
        free(other->cons);
        delete other;
    }
}

4. 取出最小节点

抽取最小结点的操作是斐波那契堆中较复杂的操作。
(1）将要抽取最小结点的子树都直接串联在根表中；
(2）合并所有degree相等的树，直到没有相等的degree的树。

上面是取出最小节点的示意图。图中应该写的非常明白了，若有疑问，看代码。

/*
 * 将"堆的最小结点"从根链表中移除，
 * 这意味着"将最小节点所属的树"从堆中移除!
 */
template <class T>
FibNode<T>* FibHeap<T>::extractMin()
{
    FibNode<T> *p = min;

    if (p == p->right)
        min = NULL;
    else
    {
        removeNode(p);
        min = p->right;
    }
    p->left = p->right = p;

    return p;
}
 
/*
 * 将node链接到root根结点
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::link(FibNode<T>* node, FibNode<T>* root)
{
    // 将node从双链表中移除
    removeNode(node);
    // 将node设为root的孩子
    if (root->child == NULL)
        root->child = node;
    else
        addNode(node, root->child);

    node->parent = root;
    root->degree++;
    node->marked = false;
}
 
/* 
 * 创建consolidate所需空间
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::makeCons()
{
    int old = maxDegree;

    // 计算log2(keyNum)，"+1"意味着向上取整！
    // ex. log2(13) = 3，向上取整为3+1=4。
    maxDegree = (log(keyNum)/log(2.0)) + 1;
    if (old >= maxDegree)
        return ;

    // 因为度为maxDegree可能被合并，所以要maxDegree+1
    cons = (FibNode<T> **)realloc(cons, 
            sizeof(FibHeap<T> *) * (maxDegree + 1));
}

/* 
 * 合并斐波那契堆的根链表中左右相同度数的树
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::consolidate()
{
    int i, d, D;
    FibNode<T> *x, *y, *tmp;

    makeCons();//开辟哈希所用空间
    D = maxDegree + 1;

    for (i = 0; i < D; i++)
        cons[i] = NULL;
 
    // 合并相同度的根节点，使每个度数的树唯一
    while (min != NULL)
    {
        x = extractMin();                // 取出堆中的最小树(最小节点所在的树)
        d = x->degree;                    // 获取最小树的度数
        // cons[d] != NULL，意味着有两棵树(x和y)的"度数"相同。
        while (cons[d] != NULL)
        {
            y = cons[d];                // y是"与x的度数相同的树" 
            if (x->key > y->key)        // 保证x的键值比y小
                swap(x, y);

            link(y, x);    // 将y链接到x中
            cons[d] = NULL;
            d++;
        }
        cons[d] = x;
    }
    min = NULL;
 
    // 将cons中的结点重新加到根表中
    for (i=0; i<D; i++)
    {
        if (cons[i] != NULL)
        {
            if (min == NULL)
                min = cons[i];
            else
            {
                addNode(cons[i], min);
                if ((cons[i])->key < min->key)
                    min = cons[i];
            }
        }
    }
}
 
/*
 * 移除最小节点
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::removeMin()
{
    if (min==NULL)
        return ;

    FibNode<T> *child = NULL;
    FibNode<T> *m = min;
    // 将min每一个儿子(儿子和儿子的兄弟)都添加到"斐波那契堆的根链表"中
    while (m->child != NULL)
    {
        child = m->child;
        removeNode(child);
        if (child->right == child)
            m->child = NULL;
        else
            m->child = child->right;

        addNode(child, min);
        child->parent = NULL;
    }

    // 将m从根链表中移除
    removeNode(m);
    // 若m是堆中唯一节点，则设置堆的最小节点为NULL；
    // 否则，设置堆的最小节点为一个非空节点(m->right)，然后再进行调节。
    if (m->right == m)
        min = NULL;
    else
    {
        min = m->right;
        consolidate();
    }
    keyNum--;

    delete m;
}

5. 减小节点值

减少斐波那契堆中的节点的键值，这个操作的难点是：如果减少节点后破坏了"最小堆"性质，如何去维护呢？下面对一般性情况进行分析。
(1) 首先，将"被减小节点"从"它所在的最小堆"剥离出来；然后将"该节点"关联到"根链表"中。 倘若被减小的节点不是单独一个节点，而是包含子树的树根。则是将以"被减小节点"为根的子树从"最小堆"中剥离出来，然后将该树关联到根链表中。
(2) 接着，对"被减少节点"的原父节点进行"级联剪切"。所谓"级联剪切"，就是在被减小节点破坏了最小堆性质，并被切下来之后；再从"它的父节点"进行递归级联剪切操作。
      而级联操作的具体动作则是：若父节点(被减小节点的父节点)的marked标记为false，则将其设为true，然后退出。
                                                          否则，将父节点从最小堆中切下来(方式和"切被减小节点的方式"一样)；然后递归对祖父节点进行"级联剪切"。
      marked标记的作用就是用来标记"该节点的子节点是否有被删除过"，它的作用是来实现级联剪切。而级联剪切的真正目的是为了防止"最小堆"由二叉树演化成链表。
(3) 最后，别忘了对根链表的最小节点进行更新。

/* 
 * 修改度数
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::renewDegree(FibNode<T> *parent, int degree)
{
    parent->degree -= degree;
    if (parent-> parent != NULL)
        renewDegree(parent->parent, degree);
}
 
/* 
 * 将node从父节点parent的子链接中剥离出来，
 * 并使node成为"堆的根链表"中的一员。
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::cut(FibNode<T> *node, FibNode<T> *parent)
{
    removeNode(node);
    renewDegree(parent, node->degree);
    // node没有兄弟
    if (node == node->right) 
        parent->child = NULL;
    else 
        parent->child = node->right;

    node->parent = NULL;
    node->left = node->right = node;
    node->marked = false;
    // 将"node所在树"添加到"根链表"中
    addNode(node, min);
}

/* 
 * 对节点node进行"级联剪切"
 *
 * 级联剪切：如果减小后的结点破坏了最小堆性质，
 *     则把它切下来(即从所在双向链表中删除，并将
 *     其插入到由最小树根节点形成的双向链表中)，
 *     然后再从"被切节点的父节点"到所在树根节点递归执行级联剪枝
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::cascadingCut(FibNode<T> *node) 
{
    FibNode<T> *parent = node->parent;
    if (parent != NULL)
    {
        if (node->marked == false) 
            node->marked = true;
        else
        {
            cut(node, parent);
            cascadingCut(parent);
        }
    }
}

/* 
 * 将斐波那契堆中节点node的值减少为key
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::decrease(FibNode<T> *node, T key)
{
    FibNode<T> *parent;

    if (min==NULL ||node==NULL) 
        return ;

    if ( key>=node->key)
    {
        cout << "decrease failed: the new key(" << key <<") "
             << "is no smaller than current key(" << node->key <<")" << endl;
        return ;
    }

    node->key = key;
    parent = node->parent;
    if (parent!=NULL && node->key < parent->key)
    {
        // 将node从父节点parent中剥离出来，并将node添加到根链表中
        cut(node, parent);
        cascadingCut(parent);
    }

    // 更新最小节点
    if (node->key < min->key)
        min = node;
}

6. 增加节点值

增加节点值和减少节点值类似，这个操作的难点也是如何维护"最小堆"性质。思路如下：
(1) 将"被增加节点"的"左孩子和左孩子的所有兄弟"都链接到根链表中。
(2) 接下来，把"被增加节点"添加到根链表；但是别忘了对其进行级联剪切。

上面是增加节点值的示意图。该操作示意图与测试程序中的"增大节点"相对应！

/* 
 * 将斐波那契堆中节点node的值增加为key
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::increase(FibNode<T> *node, T key)
{
    FibNode<T> *child, *parent, *right;

    if (min==NULL ||node==NULL) 
        return ;

    if (key <= node->key)
    {
        cout << "increase failed: the new key(" << key <<") " 
             << "is no greater than current key(" << node->key <<")" << endl;
        return ;
    }

    // 将node每一个儿子(不包括孙子,重孙,...)都添加到"斐波那契堆的根链表"中
    while (node->child != NULL)
    {
        child = node->child;
        removeNode(child);               // 将child从node的子链表中删除
        if (child->right == child)
            node->child = NULL;
        else
            node->child = child->right;

        addNode(child, min);       // 将child添加到根链表中
        child->parent = NULL;
    }
    node->degree = 0;
    node->key = key;

    // 如果node不在根链表中，
    //     则将node从父节点parent的子链接中剥离出来，
    //     并使node成为"堆的根链表"中的一员，
    //     然后进行"级联剪切"
    // 否则，则判断是否需要更新堆的最小节点
    parent = node->parent;
    if(parent != NULL)
    {
        cut(node, parent);
        cascadingCut(parent);
    }
    else if(min == node)
    {
        right = node->right;
        while(right != node)
        {
            if(node->key > right->key)
                min = right;
            right = right->right;
        }
    }
}

7. 删除节点

删除节点，本文采用了操作是："取出最小节点"和"减小节点值"的组合。
(1) 先将被删除节点的键值减少。减少后的值要比"原最小节点的值"即可。
(2) 接着，取出最小节点即可。

/*
 * 删除结点node
 */
template <class T>
void FibHeap<T>::remove(FibNode<T> *node)
{
    T m = min->key-1;
    decrease(node, m-1);
    removeMin();
}

本文来自http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3659069.html