数据结构 二分查找1

包括以下内容：

1. 二分查找key在数组中的位置
2. 二分查找数组中第一个大于或等于key的位置
3. 二分查找数组中第一个大于key的位置

变量解释：int[] arr1; 记录查找表，所有元素都是唯一的

                  int[] arr2; 记录查找表，元素不唯一

 

测试用例：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
arr1[]	01	05	07	09	10	15	18	22	25
arr2[]	01	01	07	07	15	15	15	22	25

一. 查找key在数组中的位置， 查找不成功则返回-1；

迭代实现:

int binary_search1(int arr[], int low, int high, int key){
    while(low<=high){
        int mid = low + (high-low)/2;
        if(arr[mid]<key) low=mid+1;
        else if(arr[mid]>key) high=mid-1;
        else return mid;
    }
    return -1;
}

递归实现：

int binary_search(int arr[], int low, int high, int key){
    int mid = low+(high-low)/2;
    if(low>high) return -1;
    if(arr[mid]<key)  return binary_search(arr, mid+1, high, key);
    if(arr[mid]>key)  return binary_search(arr, low, mid-1, key);
    return mid;
}

这里对递归实现，做一定的解释：

首先这个函数的功能是在查找表arr1[]中查找key所在的位置， 如果查找成功则返回所在位置， 否则返回-1，标志未查找成功； 二分查找的前提的查找表有序，这里以查找表递增为例实现二叉查找；

每次调用函数，是对整个数组查找， 需要查找表数组arr， 查找范围的下限low，和上限high, 以及要查找的值key; 为了统一，我们这里把上限+1，后面做解释

二分查找的思路：先拿key和查找表最中间的值比较：

　　1.如果比中间值大，则key只可能在查找表的右半边， 在查找表的右边进行二叉查找

　　2. 如果key比中间的值小，那么key只可能在查找表的左半边，在查找表的左边进行二叉查找

　　3.如果相等， 则找到key所在key的位置 

以查找7为例， 

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	5	7	9	10	15	18	22	25
low				mid					high	7比10大，在查找表左边进行二叉查找, high=mid-1
low	mid		high							7比5大，在查找表的右边进行二叉查找， low=mid+1
	low	mid	high							找到7，返回7所在位置

 

 

 

 

有几个需要注意的地方：

1. while的循环条件：应该是low<=high,  而不是low<high；
2. 每次循环如果没有找到key所在的位置，要修改low=mid-1,或者high=mid+1; 不能是low=mid, 或者是high=mid，否则会导致死循环
3. 只适用于递增的查找表

二叉查找，相当于在一颗平衡二叉树中进行查找， 平衡二叉树的高度h=[logn]+1, n是查找表的长度， 所以使用二叉树查找值得时候，在O(logn)的时间内就能找到所需要查找的值，及时查找失败， 比较次数也不会超过查找表对于的平衡二叉树的深度

二叉查找并不能保证比顺序查找的更优 ， 对于查找概率相同的的key来说二叉树更优，当查找表前面的值查找频率较高的时候，顺序查找的效率可能比二叉查找更优

二. 查找表中第一个大于等于key的位置

int lower_bound(int arr[], int low, int high, int key){
    while(low<high){
        int mid = low + (high-low)/2;
        if(key>arr[mid]) low=mid+1;
        else  high=mid;
    }
    return low;
}

函数解释：在不减的查找表里面找第一个大于或者等于key的位置， 如果key在查找表中不存在， 返回的是key在数组中应该在的位置， 比如在1，3，5中查找2， 返回的值是1， 意思就是如果查找表中有2这个值，他的位置应该在1这个位置， 如果key在查找表中， 返回的值就是key所在的位置； 解释一下上面的上限为什么要+1，任然以1,3,5为例，如果在表中查找8，传入2作为上限， 返回的值就是2，但这是错误的，8的位置应该在3；所以上限加一在于解决查找值key比查找表中所有元素还大的情况， 而对其他值得查找不会有影响；

这个函数和上面的函数很相似，整体的框架类似， 但是存在一些细微的差别：

1. while的循环判断条件不同
2. high的修改条件不同
3. 返回值不同

下面对这三点做出解释

1. 在二分查找时，有一个隐含条件是查找值key必须在查找表中，当low==high以及确定了一个唯一的位置，但是需要验证该位置的值是否等于key；但是在这个函数中，我们要找的是第一个大于或等于key的位置，如果key存在于查找表中，那么当low==hight时，查找表的值一定为key，不存在也没关系，该位置即为key在查找表中应该所在的位置
2. 因为我们要找的是第一个大于或者等于key所在位置，那么当arr[mid]<key时， key的位置肯定在mid的右边，不可能在mid上，因而low=mid+1； 当arr[mid]>key时，key的位置可能在mid的左边也可能就在mid上，因为要找的是大于或等于key的值， 当arr[mid]==key的时候， key的位置就在mid上， 让high=mid,经过几次迭代就能让low==high，从而退出循环， 可以发现后面两种情况是可以合并的， 将其合并在一起，让代码精简一些
3. 如果你手写实现一下该迭代过程，就会发现终止循环的的情况一定是low==high，这种情况下确定了一个唯一的位置， 返回low和high其实都一样；因为每一次迭代low的最大值即为low=[(low+high)/2]+1, 改值一定是不大于high的当low等于high退出循环，当low小于high，进行下一次迭代

以查找不存在的8为例， 正确的位置应该在4；

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	7	7	15	15	15	23	25
low				mid					high	8小于15，在mid左边进行查找， high=mid
low		mid		high						8大于7，在mid右边进行查找，low=mid+1
			low, mid	high						8大于7，在mid右边进行查找，low=mid+1
				low, high						low<high条件不满足，返回low找到key应该在的位置

三.查找第一个大于key所在的位置

int upper_bound(int arr[], int low, int high, int key){
    while(low<high){
        int mid = low + (high-low)/2;
        if(key>=arr[mid]) low=mid+1;
        else high=mid;
    }
    return low;
}

思路和查找第一个大于或等于key的位置的函数一样， 这里只需要把等于的条件放在左边即可； 这里不再做解释

lower_bound和upper_bound组合使用能很方便的得到查找表中所有值等于key的左闭右开区间

通过相同的思路能能实现找到第一个小于或等于key的位置， 第一个等于key的位置；