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P5323 BJOI2019 光线
主要详细写写系数怎么暴力化开。
光线视作从左射入，从右射出。
设 (L_i,R_i) 为 所有 从第 (i) 块玻璃向左和向右射出的光线数量。
那么显然有
[egin{align}
R_i=a_i·R_{i-1}+b_i·L_{i+1}\
L_i=b_i·R_{i-1}+a_i·L_{i+1}
end{align}
]
特殊地，对于第 (n) 个位置，我们还有
[egin{aligned}
R_n=a_n·R_{n-1}\
L_n=b_n·R_{n-1}
end{aligned}
]
可以发现貌似 (R_i) 和 (L_i) 都可以用 (R_{i-1}) 来表示，于是就考虑设 (L_i=A_i·R_{i-1},R_i=B_i·R_{i-1}) 。
于是瞄一眼数据范围，思考怎么递推系数。初始我们有 (A_n=b_n,B_n=a_n) 。
[egin{aligned}
R_i&=a_i·R_{i-1}+b_i·L_{i+1}\
R_i&=a_i·R_{i-1}+b_i·A_{i+1}·R_i\
(1-b_i·A_{i+1})R_i&=a_i·R_{i-1}\
R_i&=frac{a_i}{1-b_i·A_{i+1}}·R_{i-1}\
∴B_i&=frac{a_i}{1-b_i·A_{i+1}}\
L_i&=b_i·R_{i-1}+a_i·A_{i+1}·R_i\
L_i&=b_i·R_{i-1}+a_i·A_{i+1}·B_i·R_{i-1}\
L_i&=(b_i+a_i·A_{i+1}·B_i)·R_{i-1}\
∴A_i&=b_i+a_i·A_{i+1}·B_i\
end{aligned}
]
最后 (Ans=prod_{i=1}^nB_i) 。
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define For(i,a,b) for(reg int i=(a),i##END=(b);i<=i##END;i++)
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int mod=1e9+7;
int inv(int a,int b=mod-2){
int x=1;
while(b){
if(b&1)(x*=a)%=mod;
(a*=a)%=mod,b>>=1;
}
return x;
}
const int N=5e5+10;
int a[N],b[N],A[N],B[N];
signed main(){
int inv100=inv(100);
int n=read();
For(i,1,n)a[i]=read()*inv100%mod,b[i]=read()*inv100%mod;
A[n]=b[n],B[n]=a[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)
B[i]=a[i]*inv((mod+1-b[i]*A[i+1]%mod)%mod)%mod,
A[i]=a[i]*A[i+1]%mod*B[i]%mod+b[i],A[i]%=mod;
int ans=1;
For(i,1,n)ans=ans*B[i]%mod;
printf("%lld
",ans);
return 0;
}