[CF1364D] Ehab's Last Corollary

Description

给定 (n) 个点的无向图和一个整数 (k le n)，要求解决一下问题中的任何一个：求一个大小恰好为 (lceil frac n 2 ceil) 的独立集；求一个大小不超过 (k) 的环。已经可以证明对于任意给定的整数 (k) 一定可以解决这两个问题中的一个。

Solution

由于已经保证了对于任意给定的整数 (k) 一定可以解决这两个问题中的一个，我们不妨取 (k=n)，此时如果原图是一棵树，那么我们直接二分图染色即可；否则，必然有一个长度不超过 (n) 的环。

考虑原问题，我们只需要找一个结点数为 (k) 的连通子图（由于原图是连通的所以我们一定能找到），对这个子图进行上面的求解即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;

namespace subtask 
{
    vector <int> g[N];
    int n,m,vis[N],col[N];
    set <int> vec;
    stack <int> sta;
    vector <int> res;

    void make(int p,int q)
    {
        g[p].push_back(q);
        g[q].push_back(p);
        ++m;
        if(vec.find(p)==vec.end()) vec.insert(p);
        if(vec.find(q)==vec.end()) vec.insert(q);
    }

    void dfs1(int p)
    {
        vis[p]=1;
        for(int q:g[p])
        {
            if(!vis[q])
            {
                col[q]=col[p]^1;
                dfs1(q);
            }
        }
    }

    void dfs2(int p,int fa)
    {
        sta.push(p);
        vis[p]=1;
        for(int q:g[p])
        {
            if(!vis[q] && fa!=q)
            {
                dfs2(q,p);
            }
            else if(vis[q] && fa!=q)
            {
                res.push_back(q);
                while(sta.top()!=q)
                {
                    res.push_back(sta.top());
                    sta.pop();
                }
                cout<<res.size()<<endl;
                for(int i:res) cout<<i<<" ";
                cout<<endl;
                exit(0);
            }
        }
        sta.pop();
    }

    void solve()
    {
        if(n==m+1)
        {
            cout<<1<<endl;
            int v0=*vec.begin();
            dfs1(v0);
            int cnt[2]={0,0};
            for(int p:vec) cnt[col[p]]++;
            int tot=(n+1)/2;
            if(cnt[0]>cnt[1])
            {
                for(int p:vec) 
                {
                    if(col[p]==0) cout<<p<<" ", --tot;
                    if(tot==0) break;
                }
            }
            else 
            {
                for(int p:vec) 
                {
                    if(col[p]==1) cout<<p<<" ", --tot;
                    if(tot==0) break;
                }
            }
            cout<<endl;
        }
        else 
        {
            cout<<2<<endl;
            int v0=*vec.begin();
            dfs2(v0,0);
        }
    }
}

int n,m,k,t1,t2,t3,t4,vis[N],u[N];
vector <int> g[N];
vector <int> vec;

void dfs(int p)
{
    vis[p]=1;
    if(vec.size()==k) return;
    vec.push_back(p);
    for(int q:g[p])
    {
        if(!vis[q])
        {
            dfs(q);
        }
    }
}

signed main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        int t1,t2;
        cin>>t1>>t2;
        g[t1].push_back(t2);
        g[t2].push_back(t1);
    }
    dfs(1);
    for(int i:vec) u[i]=1;
    for(int i:vec)
    {
        for(int j:g[i]) 
        {
            if(u[j])
            {
                if(i<j) subtask::make(i,j);
            }
        }
    }
    subtask::n=k;
    subtask::solve();
    return 0;
}