BZOJ 1040 骑士

Description

Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

Output

应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

3
10 2
20 3
30 1

Sample Output

30

HINT

对于100%的测试数据，满足N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于   1 000 000的正整数。

Source

与 BZOJ 1023 仙人掌图 很相似，这题同样也是树形dp+环形dp。

如果是一颗树的话，这题就是典型的水题了。f[i][0]表示以i点为根的树且i点不选的最大获益，f[i][1]表示以i点为根的树且i点被选择的最大获益。转移自己脑补一下吧。

如果存在环的话，我们就可以先将树边dp完，再将环单独抠出来dp。

环上dp有特殊处理技巧——断环为链。

我们假定有个环a₁,a₂,a₃...a_n。将a1与an的边断开，先假定a₁选，a₁那么不选的代价就是-inf，dp到a_n，最后的答案就是f[a_n][0]，将答案合并到f[a₁]中。再假定a₁不选，那么a₁选的代价就是-inf，dp到a_n，最后答案就是min(f[a_n][0],f[a_n][1])，合并到f[a₁]中。(必须卡死一个状态，不然会多许多非法的转移，也就是我们要dp两次。)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;

#define inf (1ll<<60)
#define maxn 1000010
int n,cnt = 1,cir[maxn],w[maxn],fa[maxn],side[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],toit[maxn*2],next[maxn*2];
long long f[maxn][2],g[maxn][2],ans;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int a,int b) { next[++cnt] = side[a]; toit[cnt] = b; side[a] = cnt; } 

inline void ins(int a,int b) { add(a,b); add(b,a); }

inline void dp(int root,int last)
{
    int nn = 0;
    while (last != root) cir[++nn] = last,last = fa[last];
    cir[++nn] = root;
    for (int i = 1;i <= nn;++i) g[cir[i]][0] = f[cir[i]][0],g[cir[i]][1] = f[cir[i]][1];
    g[root][1] = inf;
    for (int i = nn-1;i;--i)
    {
        g[cir[i]][0] += min(g[cir[i+1]][0],g[cir[i+1]][1]);
        g[cir[i]][1] += g[cir[i+1]][0];
    }
    f[root][0] = min(g[cir[1]][0],g[cir[1]][1]);
    for (int i = 1;i <= nn;++i) g[cir[i]][0] = f[cir[i]][0],g[cir[i]][1] = f[cir[i]][1];
    g[root][0] = inf;
    for (int i = nn-1;i;--i)
    {
        g[cir[i]][0] += min(g[cir[i+1]][0],g[cir[i+1]][1]);
        g[cir[i]][1] += g[cir[i+1]][0];
    }
    f[root][1] = g[cir[1]][0];
}

inline void dfs(int now)
{
    dfn[now] = low[now] = ++cnt;
    f[now][0] = w[now];
    for (int i = side[now];i;i = next[i])
        if (toit[i] != fa[now])
        {
            if (fa[toit[i]] == now) continue;
            if (!dfn[toit[i]]) fa[toit[i]] = now,dfs(toit[i]);
            low[now] = min(low[now],low[toit[i]]);
            if (low[toit[i]] > dfn[now])
            {
                f[now][0] += min(f[toit[i]][0],f[toit[i]][1]);
                f[now][1] += f[toit[i]][0];
            }
        }
    for (int i = side[now];i;i = next[i])
        if (toit[i] != fa[now] && dfn[toit[i]] > dfn[now] && fa[toit[i]] != now)
            dp(now,toit[i]);
}

int main()
{
    freopen("1040.in","r",stdin);
    freopen("1040.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1;i <= n;++i) w[i] = read(),ins(read(),i),ans += (long long)w[i];
    for (int i = 1;i <= n;++i)
        if (!dfn[i]) cnt = 0,dfs(i),ans -= min(f[i][0],f[i][1]);
    printf("%lld",ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}