• 最小生成树


    最小生成树的定义:在一个有(n)个点的图中,用(n - 1)条边将其连成一棵树,使得所有(n - 1)条边的权值之和最小。
    最小生成树有两种做法:Prim和Kruskal,本文章两个都会介绍。

    Prim:
    前置知识:
    Prim的做法就是把点分为已经加入最小生成树的和未被加入的,每次把距离已加入的点最近的边加入最小生成树。不过记录边比较麻烦,我们可以记录点,记(v_i)为节点(i)到已加入部分最短的边的长度,而小根堆记录(v_i)(i)

    1. 首先随便找一个点(一般选1号点)入小根堆。
    2. 每次取出堆顶(u)并pop。
    3. 判断(u)是否已经加入最小生成树
    4. 如果不是,将(v_u)加入最小生成树的边权和
    5. 然后遍历所有连接的点(x)
    6. (v_x>v_u),则将(x)加入堆。
    7. 重复2,3,4,5,6直到堆为空或者已经加入了(n-1)条边

    关于无法形成一个树:该情况就是在结束后判断(n)个点是否都已经被标记,或者由于记录了边的条数,也可以判断边数是否为1。

    code:

    #include<queue>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    int n,m,cnt,ans;
    int v[5005];
    bool f[5005];//f判断该节点是否已经加入最小生成树
    struct node
    {
    	int first,second;
    	friend bool operator<(node x,node y){return x.first>y.first;}
    };
    priority_queue<node>q;//小根堆
    struct graph
    {
    	int tot;
    	int hd[5005];
    	int nxt[400005],to[400005],dt[400005];
    	void add(int u,int v,int w)
    	{
    		tot++;
    		nxt[tot]=hd[u];
    		hd[u]=tot;
    		to[tot]=v;
    		dt[tot]=w;
    		return ;
    	}
    }g;//链式前向星存图
    int main()
    {
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		int u,v,w;
    		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
    		g.add(u,v,w);
    		g.add(v,u,w);
    	}
    	memset(v,0x3f,sizeof(v));
    	q.push((node){0,1});
    	v[1]=0;//入堆第一个点
    	while(!q.empty()&&cnt<n-1)//cnt记录边的条数,若堆不为空或边数不足n-1则继续
    	{
    		int xx=q.top().second;//取出堆顶
    		q.pop();//弹出
    		if(!f[xx])//若还未加入最小生成树
    		{
    			f[xx]=true;//标记为加入
    			cnt++;//边数+1
    			ans+=v[xx];//记录长度
    			for(int i=g.hd[xx];i;i=g.nxt[i])//遍历能到达的点
    				if(v[g.to[i]]>g.dt[i])//满足条件
    				{
    					v[g.to[i]]=g.dt[i];//先更改v
    					q.push((node){v[g.to[i]],g.to[i]});//然后入堆
    				}
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		if(!f[i])
    		{
    			printf("orz");
    			return 0;
    		}//判断是否连通
    	printf("%d",ans);
    	return 0;
    }
    

    Kruskal:
    前置知识:并查集
    Kruskal的做法:

    1. 把所有边按顺序排序。
    2. 从第一条边开始枚举。
    3. 如果边的两端联通(用并查集判断),就跳过。
    4. 否则就加入这条边,并合并两个端点的集合。
    5. 重复3,4步直到枚举完。

    关于无法形成一个树:判断是否所有点都在同一个集合里。

    code:

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    int n,m,ans;
    struct node
    {
    	int f,t,d;
    }a[200005];//存边,Kruskal不用建图
    bool cmp(node x,node y){return x.d<y.d;}
    struct bin
    {
    	int w[5005];
    	int find(int x)
    	{
       		if(x==w[x]) return x;
    	    w[x]=find(w[x]);
       		return w[x];
    	}
    	void add(int x,int y)
    	{
        	w[find(x)]=find(y);
       		return ;
    	}
    	bool ask(int x,int y)
    	{
       		if(find(x)==find(y)) return true;
        	else return false;
    	}
    }b;//并查集
    int main()
    {
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].f,&a[i].t,&a[i].d);
    	for(int i=1;i<=n;i++) b.w[i]=i;//并查集初始化
    	sort(a+1,a+m+1,cmp);//按边权排序
    	for(int i=1;i<=m;i++)//枚举每条边
    	{
    		if(b.ask(a[i].f,a[i].t)) continue;//连通则跳过
    		ans+=a[i].d;//否则记录
    		b.add(a[i].f,a[i].t);//改为连通
    	}
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		if(!b.ask(1,n))
    		{
    			printf("orz");
    			return 0;
    		}//判断是否连通
    	printf("%d",ans);
    	return 0;
    }
    
    
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