Dream Team（最小费用流）

题意

给定\(N\)个人，每个人属于一所大学\(A_i\)，擅长一个学科\(B_i\)，拥有一个能力值\(C_i\)。

考虑从\(N\)个人中选出一部分人组建一个队伍，如果这个队伍是梦之队，则需要满足如下条件：队伍中任何两个人学校不同，擅长学科不同。

令\(k\)为梦之队中最大可能的人数，对任意\(i = 1, 2, \dots, k\)，解决下列问题。

问题：找到包含\(i\)个人的队伍的最大能力之和。

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc247/tasks/abc247_g

数据范围

\(1 \leq N \leq 3 \times 10^4\)
\(1 \leq A_i, B_i \leq 150\)

思路

本题是一个图匹配问题，使用费用流来解决。

首先考虑建图。将学校和学科作为节点，将人作为边。对于\((A_i, B_i)\)这条边，流量为\(1\)，费用为\(C_i\)。由于任何两个人的学校不同，因此设置超级源点\(S\)，将\(S\)连向所有学校，每条边的流量为\(1\)，费用为\(0\)。由于任何两个人的擅长学科不同，因此设置超级汇点\(T\)，将所有学科连向\(T\)，每条边的流量为\(1\)，费用为\(0\)。

这样就是一个最大费用流问题。将\(C_i\)变为\(-C_i\)即可转化为最小费用流问题。

对于人数限制的问题，这其实等价于增广的过程，每增广一次多一个人。因此将每次增广后的费用记录下来，输出即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 350, M = 100010;
const ll inf = 1e12;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
ll f[M], w[M];
int pre[N];
ll d[N], incf[N];
bool st[N];
vector<ll> ans;

void add(int a, int b, ll c, ll d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool spfa()
{
    for(int i = 0; i < N; i ++) d[i] = inf;
    for(int i = 0; i < N; i ++) incf[i] = -inf;
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, incf[S] = inf;
    st[S] = true;
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] > d[t] + w[i] && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if(!st[ver]) {
                    que.push(ver);
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

void EK()
{
    ll cost = 0;
    while(spfa()) {
        ll t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for(int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
        ans.push_back(-cost);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    S = 0, T = 301;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for(int i = 1; i <= 150; i ++) add(S, i, 1, 0), add(150 + i, T, 1, 0);
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        int a, b;
        ll c;
        scanf("%d%d%lld", &a, &b, &c);
        add(a, 150 + b, 1, -c);
    }
    EK();
    printf("%d\n", ans.size());
    for(auto p : ans) printf("%lld\n", p);
    return 0;
}