魔术球问题（最大流，最小路径点覆盖，二分图，网络流24题）

题意

假设有(n)根柱子，现要按下述规则在这(n)根柱子中依次放入编号为(1,2,3,dots)的球。

• 每次只能在某根柱子的最上面放球。

• 在同一根柱子中，任何 (2) 个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在 (n) 根柱子上最多能放多少个球。

思路

典型的最小路径点覆盖问题！

本题可以采用枚举的方法，一个数一个数的枚举，把点加到图中，跑最大流，直到需要的柱子数大于给定数量为止。

注意，最后还需要跑一遍最大流，因为枚举的最后一个点是刚好不行的点，因此需要将那个点去掉。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 3210, M = 500010, inf = 1e8;

int n, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
int pre[N], sec[N];
bool is_f[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && limit > flow; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

void get()
{
    for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
        int b = e[i], a = e[i ^ 1];
        if(a != S && b != T) {
            if(!f[i]) {
                pre[(b - 1) / 2] = a / 2;
                sec[a / 2] = (b - 1) / 2;
            }
        }
    }
}

void output(int u)
{
    printf("%d", u);
    while(sec[u]) {
        printf(" %d", sec[u]);
        u = sec[u];
    }
    puts("");
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = 1;
    for(int i = 1; i <= 3200; i ++) {
        for(int j = 1; j <= 1600; j ++) {
            if(j * j == i) {
                is_f[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    int ans = 1;
    for(int i = 1; i <= 1600; i ++) {
        for(int j = 0; j < idx; j += 2) {
            f[j] += f[j ^ 1];
            f[j ^ 1] = 0;
        }
        add(S, 2 * i, 1);
        add(2 * i + 1, T, 1);
        for(int j = 1; j <= i - 1; j ++) {
            if(is_f[i + j]) {
                add(2 * j, 2 * i + 1, 1);
            }
        }
        int res = dinic();
        if(i - res > n) {
            printf("%d
", i - 1);
            ans = i - 1;
            break;
        }
    }
    memset(h, -1, sizeof(h));
    idx = 0;
    for(int i = 1; i <= ans; i ++) {
        add(S, 2 * i, 1);
        add(2 * i + 1, T, 1);
        for(int j = 1; j <= i - 1; j ++) {
            if(is_f[i + j]) {
                add(2 * j, 2 * i + 1, 1);
            }
        }
    }
    dinic();
    get();
    for(int i = 1; i <= ans; i ++) {
        if(!pre[i]) {
            output(i);
        }
    }
    return 0;
}