一个有趣的“相似三角形相关变化率问题”

一个有趣的“相似三角形相关变化率问题”

      带闺女回她姥姥家，由于姥姥家无网，无法继续研究Tensorflow，只好带了本微积分的书回来看。之所以带微积分的书，原因很简单，机器学习用到的数学知识，微积分是核心的核心。这本书叫作《微积分之屠龙宝刀》，三个老美写的，相当幽默，相当通俗，读来毫无障碍，轻松快乐中就把微积分的知识学到了。当然，光作者写得好还不行，还必须译得好，必须给翻译点赞，这本书如此接地气，翻译功不可没。本书给出的题目个个有趣，现摘录一个，以纪念我曾经逝去，如今又回来的数学能力。
       这个问题被称作“大脚野人问题”，问题描述如下：

       北美传说中的“大脚野人”（Bigfoot）在夜间走出了山林，来到了城市。这位老兄浑身毛茸茸的，体重441磅，身高8英尺。在昏暗的街灯下，貌似身材特大号、一副龌龊不堪的摇滚歌手。这是他第一次来到这么一座大城市。有一盏路灯引起了他的注意，他以每秒2英尺的的速度朝路灯的方向走去。假设那盏路灯的高度是12英尺，那么当“大脚”走到离路灯底座6英尺远的时候，他在地上的影子长度的变化率是多少？

你看，这个题出得如此无厘头，就连作者都说：“好啦好啦！趁你还没冒火之前，我们先坦承我们自己也不太清楚为什么要解决这么奇怪的问题。究竟谁的脑筋出了毛病，居然关心起‘大脚野人’的影子变化得有多快？”。其实这个题目真正考察的是“相似三角形的相关变化率”问题，之所以这样出题目，就是为了让读者印象深刻。看到这个题目，我没有急着往下翻看作者是如何解答的，而是停留在了题目本身，我想看看自己在已经读了大半本书的情况下，利用前面掌握的微分知识能否解出此题。
        根据描述文字，这个题目是要我们计算出野人在地上的影子长度的变化率，用数学术语来描述就是：影子长度在t 时刻的导数。我们先来根据题意画图（美术功底极差，windows的画图软件也不好用，只能凑活着画了）：

这一画图就很清楚了，这其实就是一个相似三角形，其中y为野人的影子长度，它会随着野人逐渐走近路灯而变短，所以变换成数学语言就是我们要求出y在t 时刻的导数：

上图中，x 为野人从A点经过t 时刻走到6英尺位置时经过的距离，这样的话x也会随着时刻t 变化而变化。幸运的是，这个题目给出了野人步行的速度为2英尺/秒，因此：

x = A -2 x t  （1）

由于野人是在逐渐走向6英尺的位置，而不是远离，因此，x 应当随着t 的增加而减小。上式中这里假设A 点为野人的出发点，该点距离6英尺位置为A 英尺。注意，依据题意，这里的A 为常数。

接着，这个题目的第一个关键节点该登场了——初中三角数学知识：相似三角形的三边比相等。这个定理的推导很简单，只要我们还记得sin、cos、tan是怎么回事就能推导出来，这里就不多说了。根据这个定理，我们可以得到如下方程：
 (2)

由于我们要得到基于时间t 的y 的导数，因此我们需要将上述式子中的x 替换为t ，这倒不难，我们直接用式（1）替换即可：
（3）
 

接下来的目标就是得到：


我们对方程（3）求导，过程如下：


由此，我们得到想要的答案：-4英尺每秒，这与实际情况相符，野人逐渐走近路灯，影子以4英尺每秒的速度缩短。

上述过程使用的是普通导数求解过程，式（3）只有y 的变化率与t 相关，我们利用单一相关变化率直接求解出本题的答案。这是我利用此前掌握的微分知识给出的解题方法，而书中给出的却是另外一种方法。

根据前文所述我们已经知道，x 的变化率亦与t 相关，因此：
（4）

通过上式，再结合式（2）我们同样可以求得：


只不过这个方法需要用到本题目的第二个关键节点知识——隐函数。在式（2）中x 和y 表示成t 的隐函数，因此我们可以利用隐函数的微分法则直接求导：


上述求导过程我们利用了两个相关变化率x 和y，这两个变量均与t 相关，但t 并没有出现在方程式中，这就是隐函数的奥妙所在（可以参照复合函数进行理解，从运算法则的角度看，个人认为本质上就是复合函数）。虽然有些弯弯绕，相对抽象，但实际应用中有相当部分都是多个相关变化率的问题，必须理解掌握。这本书还有很多题目相当有趣，比如路程最优问题、利润最大问题、跑道问题等等都特别有意思，而且还与我们的生活息息相关，可以直接解决生活中很多实际问题，非常实用，有兴趣的推荐买一本，很值。

最后，再说一句，数学非常重要，它是进入新世界的钥匙，虽然现在才意识到，但亦不晚。