秘密挤奶机（最大流，二分）

题意

给定一个无向图，每条边有边权。

现在要从起点到终点(T)次，并且在这(T)次行程中图中每条边最多只能使用(1)次。

目标是使得走过的边的最大值最小，求这个最小值。

思路

这道题使用最大流。一般来说，最大流的题目都会有一定的限制条件，比如次数限制，数值限制等。还可能会出现改变边权，或者从起点到终点多次的要求。

最后目标是最大值最小，首先想到二分答案(mid)。

对于每条边，如果(w_i > mid)，则(f_i = 0)；反之，若(w_i leq mid)，则(f_i = 1)。判断最大流是否大于等于(T)即可。

这里注意一点，因为是无向图，所以原图中的一条边对应残留网络的四条边。但是不用建四条边，将同方向的两条边合并即可，因此建图的时候，正反两条边的容量都是(c)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 210, M = 80010, inf = 1e8;

int n, m, K, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], w[M], idx;
int cur[N], d[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, w[idx] = c, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

bool check(int mid)
{
    for(int i = 0; i < idx; i ++) {
        if(w[i] > mid) f[i] = 0;
        else f[i] = 1;
    }
    return dinic() >= K;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 1, T = n;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    int l = 1, r = 1e6;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    printf("%d
", r);
    return 0;
}