线性代数

线代再 (OI) 这块主要是行列式（别的我也没见过

• 一.行列式

1.定义
 行列式是数学中的一个函数，是将 (n imes n) 的矩阵 (A) 映射为一个标量，记作 (det(A)/|A|)

 一个 (n) 阶行列式直观定义如下：(det(A)=sumlimits_{sigma}sgn(sigma)prodlimits_{i=1}^na_{i,sigma(i)})

 (sigma) 代表一个 ({1,2...n}) 的排列，(sgn(sigma)) 表示 ((-1)^{sigma 中逆序对个数 +1})

 

2.性质

 1.当有一行 (/) 列的值全为 (0) 时 (det(A)=0)

 2.若某一行有公因子 (k)，可直接提出

 3.在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式

 4.行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号

 5.在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0

 6.将一行（列）的 (k) 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变

  注意：一行（列）的 (k) 倍加上另一行（列），行列式的值改变

 7.矩阵转置后行列式的值不变

 8.行列式的乘法定理：(det(AB)=det(A)det(B))

 特别的，(det(rA)=det(rI_nA)=det(rIn)det(A)=r^ndet(A))

 对乘法公式进行扩展，可以得到所谓 柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果

 例如，对于 (n imes m) 的矩阵 (A) 和 (m imes n) 的矩阵 (B)，设 (S) 为从 ({1,2...n}) 中选出 (m) 个元素的子集

 则有 (det(AB)=sumlimits_{S}det(A_s)det(B_s))(如果 (n<m) 则规定 (det(AB)=0))

 8.若 (A) 为可逆矩阵，则 (det(A^{-1})=det(A)^{-1})

 

行列式的展开

 1.余子式

 (M_{i,j}) 为矩阵 (A) 去掉 (i) 行 (j) 列之后的行列式

 2.代数余子式

 (M) 关于 (M_{i,j}) 的代数余子式定义为 (C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j})

 3.拉普拉斯展开

 (det(M)=sumlimits_{i=1}^nm_{i,j}C_{i,j}=sumlimits_{j=1}^nm_{i,j}C_{i,j})