埃及分数问题+迭代加深搜索

• 理论上可以用回溯法求解，但是解答树非常恐怖，其一深度没有明显上限，1/i的值似乎可以在枚举不断更大的i时越来越小；其二加数的选择在理论上无限制。
• 解决方案采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限maxd，每次只执行深度不超过maxd的结点。这样，if(bb*(maxd+1-d)<=i*aa) break;在i++到一定值后一定会退出循环，不会在已经得到解的情况下继续往下递归
• 埃及分数这道题题意说加数少的比加数多的好，所以在主程序当前maxd下，得到了解ok=1,则不管接下来的maxd,程序结束

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
using namespace std;
int a, b, maxd;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a, LL b)  //辗转相除法，求最大公因子
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
// 返回满足1/c <= a/b的最小c
inline int get_first(LL a, LL b)
{
    return b/a+1;
}
const int maxn = 100 + 5;
LL v[maxn], ans[maxn];
// 如果当前解v比目前最优解ans更优，更新ans这一判断的依据
bool better(int d)  //前d个，这时d只能是maxd，
{
    for(int i = d; i >= 0; i--) if(v[i] != ans[i])
        {
            return ans[i] == -1 || v[i] < ans[i];//没被访问过，或者是当前序列更优
        }
    return false;
}
// 当前深度为d，分母(注意是分母)不能小于from，分数之和恰好为aa/bb
bool dfs(int d, int from, LL aa, LL bb)
{
    if(d == maxd)
    {
        if(bb % aa) return false; // aa/bb必须是埃及分数（任何数mod1都等于0，可以起到一部分剪枝的作用）
        v[d] = bb/aa;//不用再进一步展开分数
        if(better(d)) memcpy(ans, v, sizeof(LL)*(d+1));
        return true;
    }
    bool ok = false;//最后一层没找到解，可向上返回
    from = max(from, get_first(aa, bb)); // 枚举的起点( 越大，取倒之后就越小）
    for(int i = from; ; i++)  //进行枚举
    {
        // 剪枝：如果剩下的maxd+1-d个分数全部都是1/i，加起来仍然不超过aa/bb，则无解
        if(bb * (maxd+1-d) <= i * aa) break;//从第0层开始算的，总共有maxn+1个
        v[d] = i;// 计算aa/bb - 1/i，设结果为a2/b2
        LL b2 = bb*i;
        LL a2 = aa*i - bb;
        LL g = gcd(a2, b2); // 以便约分
         if(dfs(d+1, get_first(a2/g, b2/g), a2/g, b2/g)) ok = true;
    }
    return ok;//注意这些返回条件
}

int main()
{
    int kase = 0;
    while(cin >> a >> b)
    {
        int ok = 0;
        for(maxd = 1; maxd <= 100; maxd++)  //从小到大，枚举深度上限
        {
            memset(ans, -1, sizeof(ans));
            if(dfs(0, get_first(a, b ), a, b))
            {
                ok = 1;//找到解了~~
                break;
            }
        }
        cout << "Case " << ++kase << ": ";
        if(ok)
        {
            cout << a << "/" << b << "=";
            for(int i = 0; i < maxd; i++) cout << "1/" << ans[i] << "+";
            cout << "1/" << ans[maxd] << "
";
        }
        else cout << "No solution.
";
    }
    return 0;
}