• MT【131】$a_{n+1}cdot a_n=dfrac 1n$


    已知数列({a_n})满足(a_1=1)(a_{n+1}cdot a_n=dfrac 1n)((ninmathbb N^*)).
    (1) 求证:(dfrac{a_{n+2}}{n}=dfrac{a_n}{n+1})
    (2) 求证:(2left(sqrt{n+1}-1 ight)leqslant dfrac{1}{2a_3}+dfrac{1}{3a_4}+cdots+dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}leqslant n)

    解:(1) 根据题意,有$$egin{split} dfrac{a_{n+2}}{n}=&dfrac{dfrac{1}{n+1}cdot dfrac{1}{a_{n+1}}}{n}=&dfrac{na_n}{n(n+1)}=dfrac{a_n}{n+1}.end{split}$$
    (2) 根据第((1))小题的结论,有(dfrac{1}{2a_3}+dfrac{1}{3a_4}+cdots+dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}=a_2+a_3+cdots+a_{n+1}.)
    右边不等式 根据第((1))小题的结论,有(dfrac{a_{n+2}}{a_n}=dfrac{n}{n+1}<1,)于是数列的奇子列和偶子列均单调递减,结合(a_1=a_2=1),可得(a_nleqslant 1,ninmathbb N^*),于是右边不等式得证.
    左边不等式 由于(egin{split}dfrac{1}{a_ncdot a_{n+1}}&=n,dfrac{1}{a_{n+1}cdot a_{n+2}}&=n+1,end{split})于是(dfrac{1}{a_{n+1}}left(dfrac{1}{a_{n+2}}-dfrac{1}{a_n} ight)=1,)从而(a_{n+1}=dfrac{1}{a_{n+2}}-dfrac{1}{a_n}.) 因此$$egin{split} a_2+a_3+cdots+a_{n+1}=&dfrac{1}{a_{n+2}}+dfrac{1}{a_{n+1}}-dfrac{1}{a_1}-dfrac{1}{a_2}geqslant &dfrac{2}{sqrt{a_{n+1}a_{n+2}}}-2=&2left(sqrt{n+1}-1 ight),end{split} $$于是左边不等式得证.
    综上所述,原命题得证.
    评:这类题目最后往往要用基本不等式把(a_{n+1}cdot a_n=dfrac 1n)这个条件用进去.下面给一道类似的练习:
    (a_1=1,a_ncdot a_{n+1}=n,nin N^+),求证:(sumlimits_{k=1}^{n}{dfrac{1}{a_k}}ge2sqrt{n}-1)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/8798644.html
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