1、前言
中学甚至是小学，了解方程的时候，我们一定是学习过高斯消元法的，或许当时只是不是这种称呼罢了。而这个知识点，在信息学上依旧可以运用，甚至有着更多的推广的功能。
2、方程转矩阵
我们先从最简单的求解三元一次方程入手。现存在一个方程组，我们将其写成一个矩阵：
这个矩阵我们称之为增广矩阵（Augmented Matrix）。左侧部分为系数矩阵，最后一列是等号右边的常数列。为什么要把他转换为矩阵，因为这更加符合信息学的制式，我们直接拿二维数组存下来就行了。三元一次方程组还是很好解的，我们借用下当年的解方程方法就可以轻松地理解这些过程。
我们固然知道，解三元一次方程组，需要进行两次消元。推广到一般的，对于n元一次，需要进行n-1次消元，我们的步骤就是从第1行起一行行处理，直至n-1行，使最终对于第i行，a[i][i]!=0 && a[j][i]==0 (j>i)。为了提高数值稳定性，每次消元之前，对于第i行，我们需要从第i+1行至第n行选取一行，设其为第x行，存在绝对值最大的a[x][i]，然后交换第x行和第i行。不要问我为什么，我也不清楚提高数值稳定性具体是个什么概念，只可意会，不可言传。
3、加减消元
消元的核心步骤。依旧是上面那个例子。从第1行起处理，第一步我们找到了第2行满足所述条件，将其与第1行交换，得：
然后{-3,-1,2,-11}就成为当前行了。根据当前行，依次将后面所有的行的第1位通过加减进行消除。例如第2行每个元素*(-3/2)，然后与第1行相加得到{0,1/3,1/3,2/3}。
推广到一般情况，即用第i行消去第j行的第i列，那么第j行的第k列有a[j][k]-=a[j][i]/a[i][i]，其中j∈(i+1,n)，k∈(i,n+1)。
在一步步的消除之后，对于第n行，必定仅存在一个系数矩阵元素。例如还是上述例子，消元结束后，最后一列元素为{0,0,1/5,-1/5}，即z/5=-1/5 => z=-1。而将z代入上一行，可以得到y=3；将y,z的值代入上一行，可以得到x=2。这个步骤我们称之为回代。这样n个未知数就都可以一步步得出来了。
代码：
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#include<cstdio>
#define MAXN 1005
double abs(double o) { return o<0?-o:o; }
void swap(double &a,double &b) { double t=a; a=b,b=t; }
double map[MAXN][MAXN],ans[MAXN];
int n;
void Guass()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int o=i;
for (int j=i+1;j<=n;j++) o=abs(map[j][i])>abs(map[o][i])?j:o;
if (o!=i) for (int j=1;j<=n+1;j++) swap(map[i][j],map[o][j]);
for (int j=i+1;j<=n;j++)
{
double x=map[j][i]/map[i][i];
for (int k=i;k<=n+1;k++) map[j][k]-=x*map[i][k];
}
}
for (int i=n;i>=1;i--)
{
for (int j=i+1;j<=n;j++) map[i][n+1]-=map[j][n+1]*map[i][j];
map[i][n+1]/=map[i][i];
}
}
int main()
{
freopen("Gauss.in","r",stdin);
freopen("Gauss.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n+1;j++) scanf("%lf",&map[i][j]);
Guass();
for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lf ",map[i][n+1]);
return 0;
}
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4、异或方程组
上面所解的方程是非常常规的，高斯消元法的用途不局限于这么简单的方程。一个新内容——异或方程组，他和一般的n元一次方程组的差别在于，对于方程左侧，一般方程为元素之间相加，而异或方程组为互相异或，即形如：(a1x1)^(a2x2)^...^(anxn)=a0。因为形式的基本一致，故运算过程也没有大幅度的变化。