AGC Tree Restoring 题解

题目连接

Tree Restoring

青木君很喜欢数列和树。

一天，高桥君给了他一个长度为 \(N\) 的数列 \(a1, a2, …, aN\)，这让青木有了构造一棵树的冲动。

他想要构造一棵树，其中 \(i\) 号点与其它点的树上距离的最大值恰好等于 \(ai\)（假设树边长度均为\(1\)）。

请问是否存在这样一棵树符合要求。

sol

这种题目可以从极端情况入手，而这里的极端就是树的直径。

• 因为任何树都存在至少一条直径，所以一定存在一对相等且最大的 \(a[u]\) 和 \(a[v]\) ，其中 \(u\) 和 \(v\) 是直径的两端，如果不存在，输出 \(Impossible\) ；

• 找到直径后，直径上的所有点的 \(a[i]\) 都可以推出，如果给出的 \(a\) 序列中找不到对应的值，输出 \(Impossible\)；

• 接下来，其余点都相当于挂在直径这条链的两侧（不允许挂在 \(u\) 和 \(v\) 上，否则直径会更长）。显然，如果这些点的 \(a[i]\) 值没有大于直径的一半（向上取整）,我们把这个长度设为 \(mid\) ，那么他显然不可以出现在链上，所以输出 \(Impossible\)；否则，一定可以构造出符合条件的悬挂方式：由于剩余点的 \(a[i]∈[mid+1,a[u]]\) ，所以一定可以在直径上找到一个距离 \(u\)或 \(v\) 恰好为 \(a[i]-1\) 的点 \(x\)，将 \(i\) 和 \(x\) 连接，使得 \(a[i]\) 符合要求。由于新加的边长度都为 \(1\) ,不会使链变长。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int N,cnt[maxn],a[maxn];
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
int main(){
	freopen("Half Reflector.in","r",stdin);
	freopen("Half Reflector.out","w",stdout);
	N=read();
	for(int i=1;i<=N;i++) cnt[a[i]=read()]++;
	sort(a+1,a+1+N);
	if(a[N-1]!=a[N]) return printf("Impossible\n"),0;
	cnt[a[N]]-=2;
	for(int i=1;i<a[N];i++){
		int d=max(i,a[N]-i);
		if(cnt[d]<1) return printf("Impossible\n"),0;
		cnt[d]--;
	}
	for(int i=1;i<=(a[N]+1>>1);i++)if(cnt[i]) return printf("Impossible\n"),0;
	printf("Possible\n");
	return 0;
}