「NOIP2021模拟赛8.18 B」序列（seq）题解

题目大意

给定一个序列(a_1,a_2,...,a_n)定义它的一个子序列(a_{i_j},a_{i_2},...,a_{i_k}(i_1<i_2<...<i_k))的美丽值为

[sumlimits_{j=1}^k-1{leftlfloordfrac{a_{i_{j+1}}}{a_{i_j}} ight floor} ]

求子序列中美丽值最大的

「NOIP2021模拟赛8.18 B」序列（seq）

问题解决

我们很容易写出一个(DP)转移方程是(dp[i]=max(dp[j]+leftlfloordfrac{a_{i}}{a_j} ight floor))

然后发现(leftlfloordfrac{a_{i}}{a_j} ight floor)的取值实际只有(sqrt{a_i})个，也就是要想办法取出(leftlfloordfrac{a_{i}}{a_j} ight floor)值相同的(a_j)的最大值

如何求解(leftlfloordfrac{a_{i}}{a_j} ight floor)值相同的(a_j)使用数论分块就可以了，复杂度是(nsqrt{n})的

然后思考查询和修改，这里要思考一个问题，由于(leftlfloordfrac{a_{i}}{a_j} ight floor)的值随着(a_j)的增大时逐渐减小的，所以(max(L,R)+val_{i+1}≤max(1,R)+val_{i+1}<max(1,R)+val_i)由于都是更新(dp[i])所以直接寻找(max(1,R))来代替(max(L,R))更新答案即可

显然，可以用树状数组来维护，但是这样让时间复杂度到达(nsqrt{n}logn)

每次(sqrt{n})来修改，自然而然想到分块，先建立一个(a[i])到(dp[i])的映射，将分成(sqrt{n})块，记录下前(i)块的最大值(S[i])和每个数在块中的前面的最大值(s[i])所以每次求出(dp[i])的时候更新(S[i])和(s[i])，然后就可以(O(1))查询了，总时间复杂度(O(nsqrt{n}))

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005,maxm=330;
int N,F[maxn],a[maxn],b[maxn];
int tot,c[maxn],M[maxm],m[maxn],max_x;
int st[maxm],ed[maxm],bel[maxn],Ans,sq;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
void updata(int x,int val){
	for(int j=x;j<=ed[bel[x]];j++)m[j]=max(m[j],val);
	for(int j=bel[x];j<=sq;j++)M[j]=max(M[j],val);
	
}
int main(){
	freopen("seq.in","r",stdin);
	freopen("seq.out","w",stdout);
	N=read();
	for(int i=1;i<=N;i++){a[i]=read();max_x=max(max_x,a[i]);}
	sq=sqrt(max_x);
	for(int i=1;i<=sq;i++){
		st[i]=max_x/sq*(i-1)+1;
		ed[i]=max_x/sq*i;
	}ed[sq]=max_x;
	for(int i=1;i<=sq;i++)
		for(int j=st[i];j<=ed[i];j++)
			bel[j]=i;
	memset(M,128,sizeof M);
	memset(m,128,sizeof m);
	updata(a[1],0);
	for(int i=2;i<=N;i++){
		F[i]=F[i-1];
		for(int l=1,r=0;l<=a[i];l++){r=min(a[i]/(a[i]/l),a[i]);int ret=max(M[bel[r]-1],m[r]);F[i]=max(F[i],ret+(a[i]/r));l=r;}
		if(F[i]>m[a[i]]){
			updata(a[i],F[i]);
		}
	}
	printf("%d
",F[N]);
	return 0;
}