来源：知乎
这个问题无外乎有三个难点：
- 什么是sum
- 什么是reduce
- 什么是维度(indices, 现在均改为了axis和numpy等包一致)
sum很简单，就是求和，那么问题就是2和3，让我们慢慢来讲。其实彻底讲清楚了这个问题，很多关于reduce，维度的问题都会恍然大悟。
0. 到底操作哪个维度？？
sum这个操作完全可以泛化为任意函数，我们就以sum为例，来看看各种情况。
首先是1维（按照tensorflow的说法其实是0维，后面会说）就是这样：
a = 1
sum(a) => 1
那么看看2维的情况，为了看的更清楚，特意写成了矩阵的形式：
a = [[1,2],
[3,4]]
sum(a) => ???
仔细观察，那么问题来了，sum(a)到底应该是多少？有人说，当然是[3, 7](“横着加”[[1+2],[3+4]])，有人说 不应该是[4, 6](“竖着加”[[1+3],[2+4]]) 吗？还有人或说，不应该是10(全加在一起)吗？
谁是对的？
都是对的。
所以，对于多维数组元素的相加，如果不指定“如何加”，结果是未定义的，之所以有些时候没有指定也可以得到结果，是因为不同的软件或框架有默认的行为。对于tensorflow，默认行为是最后一种，也就是全加在一起。
1. 什么是维度？什么是轴（axis）？如何索引轴（axis）？
注：对Axis比较熟悉的读者可跳过这部分解释，只看加粗字体。
这是一个很大的问题，到底什么是维度呢？维基百科说：
维度，又称维数，是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。
0维是一点，没有长度。1维是线，只有长度。2维是一个平面，是由长度和宽度（或曲线）形成面积。3维是2维加上高度形成“体积面”。虽然在一般人中习惯了整数维，但在分形中维度不一定是整数，可能会是一个非整的有理数或者无理数。
妈呀，好复杂，我只是想写个tensorflow代码呀。
那么，编程时，你就可以简单的认为：
维度是用来索引一个多维数组中某个具体数所需要最少的坐标数量。
把这句话多读几遍，我想你肯定会有所顿悟。这里之所以说第一个1维的例子时0维，是因为，一个数字根本不需要索引，因为就只有一个呀。所有不同维度的形式如下：
0维，又称0维张量，数字，标量：1
1维，又称1维张量，数组，vector：[1, 2, 3]
2维，又称2维张量，矩阵，二维数组：[[1,2], [3,4]]
3维，又称3维张量，立方（cube），三维数组：[ [[1,2], [3,4]], [[5,6], [7,8]] ]
n维：你应该get到点了吧~
再多的维只不过是是把上一个维度当作自己的元素
1维的元素是标量，2维的元素是数组，3维的元素是矩阵。
从0维到3维，边看边念咒语“维度是用来索引一个多维数组中某个具体数所需要最少的坐标。”
在纸上写写看，想要精确定位一个数字，需要几个数字呢？比如上面例子中的3维数组，我们想要3这个数字，至少要3个数字定位，它的坐标是（0为索引起点）：[0, 1, 0]
好了，现在就能说了，什么是轴（axis），如何索引axis（代码中常用的变量名，后文就用axis代表轴）。
什么是axis，编程时，你就可以简单的认为：
axis是多维数组每个维度的坐标。
同样，把这句话多读几遍，我想你一定有体悟。
还拿3维来说，数字3的坐标是[0, 1, 0]，那么第一个数字0的axis是0，第二个数字1的axis是1，第三个数字0的axis是2。
让我们再看看我们是如何得到3这个数字的：
- 找到3所在的2维矩阵在这个3维立方的索引：0
- 找到3所在的1维数组在这个2维矩阵的索引：1
- 找到3这个数这个1维数组的索引：0
（这里最好写在纸上看一看，括号比较多。）
也就是说，对于[ [[1,2], [3,4]], [[5,6], [7,8]] ]这个3维情况，[[1,2],[[5,6]], [[3,4], [7,8]]这两个矩阵（还记得吗，高维的元素低一个维度，因此三维立方的元素是二维矩阵）的axis是0，[1,2]，[3,4]，[5,6]，[7,8]这4个数组（二维矩阵的元素是一维数组）的axis是1，而1，2，3，4，5，6，7，8这8个数的axis是2。
越往里axis就越大，依次加1。
那么，对于3维的情况，令a = [ [[1,2], [3,4]], [[5,6], [7,8]] ]，tf.reduce_sum(a, axis=1)应该输出[[ 4, 6], [12, 14]]，这就是处在axis=1的4个数组相加的结果，并reduce掉了一个维度。
这里需要注意的是，axis可以为负数，此时表示倒数第axis个维度，这和Python中列表切片的用法类似。
那么什么是reduce呢？
2. 什么是reduce
reduce这个词字面上来讲，大多称作“归约”，但这个词太专业了，以至于第一眼看不出来意思。我更倾向于解释为“塌缩”，这样就形象多了。对一个n维的情况进行reduce，就是将执行操作的这个维度“塌缩”。还是上面tf.reduce_sum(a, axis=1)的例子，输出[[ 4, 6], [12, 14]]是二维，显然是被“塌缩”了，塌缩的哪个维度呢？就是被操作的维度，第2个维度，也就是axis=1（0开始索引）。tf.reduce_sum(a, axis=1)具体执行步骤如下：
- 找到a中axis=1的元素，也就是[1,2]，[3,4]，[5,6]，[7,8]这4个数组（两两一组，因为前两个和后两个的地位相同）
- 在axis=1的维度进行相加也就是[1,2]+[3,4]=[4,6]，[5,6]+[7,8]=[12, 14]
- “塌缩”这一维度，也就是说“掉一层方括号”，得出[[ 4, 6], [12, 14]]
接下来是一个附加问题：
3. 什么是keepdims
上面的reduce已经解释了，“塌缩”的是被操作的维度，那么keepdims也就是保持维度，直观来看就是“不掉一层方括号”，不掉哪层方括号呢？就是本来应该被塌缩的那一层（详细解释见评论）。tf.reduce_sum(a, axis=1, keepdims=True)得出[[[ 4, 6]], [[12, 14]]]，可以看到还是3维。这种尤其适合reduce完了要和别的同维元素相加的情况。