1. Mini-batch梯度下降法
介绍
假设我们的数据量非常多，达到了500万以上，那么此时如果按照传统的梯度下降算法，那么训练模型所花费的时间将非常巨大，所以我们对数据做如下处理：
如图所示，我们以1000为单位，将数据进行划分，令(x^{{1}}={x^{(1)},x^{(2)}……x^{(1000)}}), 一般地用(x^{{t}},y^{{t}})来表示划分后的mini-batch。
注意区分该系列教学视频的符号标记：
小括号() 表示具体的某一个元素，指一个具体的值，例如(x^{(i)})
中括号[] 表示神经网络中的某一层,例如(Z^{[l]})
大括号{} 表示将数据细分后的一个集合,例如(x^{{1}}={x^{(1)},x^{(2)}……x^{(1000)}})
算法步骤
假设我们有5,000,000个数据，每1000作为一个集合，计入上面所提到的(x^{{1}}={x^{(1)},x^{(2)}……x^{(1000)}},……)
- 1)所以需要迭代运行5000次神经网络运算。
for i in range(5000):
-
2)每一次迭代其实与之前笔记中所提到的计算过程一样，首先是前向传播，但是每次计算的数量是1000
-
3)计算损失函数，如果有正则化，则记得加上正则项
-
4)反向传播
注意，mini-batch相比于之前一次性计算所有数据不仅速度快，而且反向传播需要计算5000次，所以效果也更好。
2. 理解mini-batch梯度下降法
如上面所提到的，我们以1000位单位对数据进行划分，但是这只是为了更方便说明问题才这样划分的，那么我们在实际操作中应该如何划分呢？
首先考虑两个极端情况：
-
mini-batch size = m
此时即为Batch gradient descent，((x^{{t}},y^{{t}})=(X,Y)) -
mini-batch size = 1
此时即为Stochastic gradient descent, ((x^{{t}},y^{{t}})=(x^{(i)},y^{(i)}))
如图示，蓝色收敛曲线表示mini-batch size=m，比较耗时，但是最后能够收敛到最小值；而紫色收敛曲线表示mini-batch size=1，虽然速度可能较快，但是收敛曲线十分曲折，并且最终不会收敛到最小点，而是在其附近来回波动。
说了这么多，那么mini-batch size该如何选择呢？以下是选择的原则：
- 如果数据量比较小（m<2000），可以使用batch gradient descent。一般来说mini-batch size取2的次方比较好，例如64,128,256,512等，因为这样与计算机内存设置相似，运算起来会更快一些。
3. 指数加权平均
为了理解后面会提到的各种优化算法，我们需要用到指数加权平均，在统计学中也叫做指数加权移动平均(Exponentially Weighted Moving Averages)。
首先我们假设有一年的温度数据，如下图所示
我们现在需要计算出一个温度趋势曲线，计算方法如下：
(V_0=0)
(V_1=β*V_0+(1-β)θ_1)
(……)
(V_t=β*V_{t-1}+(1-β)θ_t)
上面的(θ_t)表示第t天的温度，β是可调节的参数，(V_t)表示(frac{1}{1-β})天的每日温度。
- 当(β=0.9)时,表示平均了过去十天的温度，且温度趋势曲线如图中红线所示
- 当(β=0.98)时,表示平均了过去50天的温度，温度趋势曲线如图中绿线所示。此时绿线相比较红线要平滑一些，是因为对过去温度的权重更大，所以当天天气温度的影响降低，在温度变化时，适应得更缓慢一些。
- 当(β=0.5)时,温度趋势曲线如图中黄线所示
4. 理解指数加权平均
我们将上面的公式(V_t=β*V_{t-1}+(1-β)θ_t)展开可以得到
(假设β=0.9)
可以看到在计算第t天的加权温度时，也将之前的温度考虑进来，但是都有一个衰减因子β，并且随着天数的增加，衰减幅度也不断增加。（有点类似于卷积计算）
5. 指数加权平均的偏差修正
为什么需要修正呢？我们仔细分析一下就知道了
首先我们假设的是(β=0.98, V_0=0),然后由(V_t=βV_{t-1}+(1-β)θ_t)可知
(V_1=0.98V_0+0.02θ_1=0.02θ_1)
(V_2=0.98V_1+0.02θ_2=0.0196θ_1+0.02θ_2)
假设(θ_1=40℃),那么(V_1=0.02*40=0.8℃)，这显然相差太大，同理对于后面的温度的计算也只会是变差越来越大。所以我们需要进行偏差修正，具体方法如下：
注意！！！上面公式中的 (V_{t-1})是未修正的值。
为方便说明，令(β=0.98,θ_1=40℃,θ_2=39℃),则
当(t=1,θ_1=40℃)时，(V_1=frac{0.02*40}{1-0.98}=40),哇哦~有没有很巧的感觉，再看
当(t=2,θ_2=39℃)时，(V_2=frac{0.98*V_{t-1}+0.02*θ_2}{1-0.98^2}=frac{0.98*(0.02*θ_1)+0.02*39}{1-0.98^2}=39.49)
所以，记住你如果直接用修正后的(V_{t-1})值代入计算就大错特错了
6. 动量梯度下降法
首先介绍一下一般的梯度算法收敛情况是这样的
可以看到，在前进的道路上十分曲折，走了不少弯路，在纵向我们希望走得慢一点，横向则希望走得快一点，所以才有了动量梯度下降算法。
Momentum算法的第t次迭代：
- 计算出dw,db
- 这个计算式子与上一届提到的指数加权平均有点类似，即
(V_{dw}=βV_{dw}+(1-β)dw)
(V_{db}=βV_{db}+(1-β)db) - (W=W-αV_{dw},b=b-αV_{db})
最终得到收敛的效果如下图的红色曲线所示。
该算法中涉及到的超参数有两个，分别是 (α，β)，其中一般(β=0.9)是比较常取的值。
7. RMSprop
该算法全称叫Root Mean Square Prop(均方根传播)
这一节和上一节讲的都比较概括，不是很深入，所以就直接把算法记录下来吧。
在第t次迭代：
- 计算该次mini-batch的dw,db
- (S_{dw}=βS_{dw}+(1-β)dw^2)
(S_{db}=βS_{db}+(1-β)db^2) - (w:=w-αfrac{dw}{sqrt{S_{dw}}})
(b:=b-αfrac{db}{sqrt{S_{db}}})
收敛效果(原谅色)
8. Adam优化算法
Adam其实是Momentum和RMSprop两个算法的结合，具体算法如下：
- 初始化(V_{dw}=0,V_{db}=0，S_{dw}=0，S_{dw}=0)
- 在第t次迭代
- 计算出dw,db
- (V_{dw}=β_1V_{dw}+(1-β_1)dw),(V_{db}=β_1V_{db}+(1-β_1)db)
(S_{dw}=β_2S_{dw}+(1-β_2)dw^2),(S_{db}=β_2S_{db}+(1-β_2)db^2) - (V_{dw}^{corrected}=frac{V_{dw}}{1-β_1^t}),(V_{db}^{corrected}=frac{V_{db}}{1-β_1^t})
(S_{dw}^{corrected}=frac{S_{dw}}{1-β_2^t}),(S_{db}^{corrected}=frac{S_{db}}{1-β_2^t}) - (W=W-αfrac{V_{dw}^{corrected}}{sqrt{S_{dw}^{corrected}}+ε}),(b=b-αfrac{V_{db}^{corrected}}{sqrt{S_{db}^{corrected}}+ε})
该算法中的超参数有(α,β_1,β_2,ε),一般来说(β_1=0.9,β_2=0.999,ε=10^{-8})
9. 学习率衰减
之前算法中提到的学习率α都是一个常数，这样有可能会一个问题，就是刚开始收敛速度刚刚好，可是在后面收敛过程中学习率偏大，导致不能完全收敛，而是在最低点来回波动。所以为了解决这个问题，需要让学习率能够随着迭代次数的增加进行衰减，常见的计算公式有如下几种：
- Learning rate decay
decay_rate:衰减率
epoch_num: 迭代次数
举个栗子：
假设(α_0)初始化为0.2,decay_rate=1,则α的衰减过程如下：
| Epoch | α |
|---|---|
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.067 |
| 3 | 0.05 |
| …… | …… |
- 其他衰减算法
- 指数衰减：(α=0.9^{epoch_num}α_0)
- (α=frac{K}{sqrt{epoch_num}}α_0)或(α=frac{k}{t}α_0)(这个t表示mini-batch的第t组数据)
- 离散衰减，每次迭代后变为上一次迭代的一半。
10. 局部最优问题
图左中有很多局部最优点。
图右用青色标记出来的点称为鞍点(saddle point)，因为和马鞍相似，所以称为鞍点。
鞍点相比于局部最优点要更加棘手，因为从横向上看似乎是最低点，但是纵向上看却不是最低点，所以收敛过程有点缓慢，原因如下：
横向收敛只能沿着红线方向收敛，直到鞍点，而到了鞍点后才能往两边收敛，所以收敛的比较缓慢。
但是momentum和Adam等算法因为能够加速学习，所以收敛速率更快，能够更快地收敛。