关于不变子空间与特征子空间的专题讨论

不变子空间

$f命题：$设$sigma $为欧氏空间$V$的对称变换，则$sigma $的不变子空间$W$的正交补也是$sigma $的不变子空间

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$f命题：$设$sigma $为$n$维欧氏空间$V$的正交变换，则$sigma $的不变子空间$W$的正交补${W^ ot }$也是$sigma $的不变子空间，且$W$与${W^ ot }$均为${sigma ^{ - 1}}$的不变子空间

参考答案

$f命题：$$sigma  in Lleft( {V,n,F} ight)$，$sigma$有$n$个不同特征值${lambda _1}, cdots ,{lambda _n}$，而$W$是$sigma$的一个$r$维不变子空间，则$sigma$在$W$上的限制$sigma {|_W}$有$r$个不同特征值，并且为${lambda _1}, cdots ,{lambda _n}$中的$r$个

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$f命题：$设$T$为有限维线性空间$V$的线性变换，$W$为$V$的$T-$不变子空间，则$T|_{W}$最小多项式整除$T$的最小多项式

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$f命题：$设$sigma  in Lleft( {V,n,F} ight)$，$fleft( lambda   ight)$为$sigma $的特征多项式，则$fleft( lambda   ight)$在数域$F$上不可约的充要条件是$V$无关于$sigma $的非平凡不变子空间

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$f命题：$设$sigma $是$n$维线性空间$V$的可对角化的线性变换，$W$是$sigma $的不变子空间，则

   $(1)$存在$sigma $的不变子空间$W'$，使得$V=Woplus W’$

   $(2)$设$sigma|W$是$sigma $在$W$上的限制线性变换，则$sigma|W$可对角化

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$f命题：$设$f(x)$为数域$F$上的线性空间$V$的线性变换$sigma $的最小多项式，$fleft( x ight) = pleft( x ight)qleft( x ight)$，其中$pleft( x ight)qleft( x ight)$为数域$F$上的不同的不可约多项式，则存在$sigma $的不变子空间${V_1},{V_2}$，使得$V = {V_1} oplus {V_2}$，且$sigma {|_{{V_1}}}$的最小多项式为$p(x)$，$sigma {|_{{V_2}}}$的最小多项式为$q(x)$

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$f命题：$设$sigma  in Lleft( {V,n,F} ight)$，${lambda _1},{lambda _2}, cdots ,{lambda _s}$是$sigma$的互不相同的特征值，且[V = {V_{{lambda _1}}} oplus {V_{{lambda _2}}} oplus  cdots  oplus {V_{{lambda _s}}}]$W$是$sigma$的不变子空间，则

   $(1)$$W = left( {W cap {V_{{lambda _1}}}} ight) oplus left( {W cap {V_{{lambda _2}}}} ight) oplus  cdots  oplus left( {W cap {V_{{lambda _s}}}} ight)$

   $(2)$$W$的每一个向量$eta $可唯一表示为$eta  = {xi _1} + {xi _2} +  cdots  + {xi _s}$，其中${xi _i} in {V_{{lambda _i}}} cap W,i = 1,2, cdots ,s$

   $(3)$若$sigma$有$n$个互异的特征根，求出$sigma$的所有不变子空间

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$f命题：$设$sigma$是$n$维线性空间$V$的一个线性变换，$V$有由$sigma$的特征向量构成的基，证明：$V$的任意非零的$sigma$不变子空间$W$必有由$sigma$的特征向量构成的基

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$f命题：$

$f(10中科院六)$设$sigma$为$n(n geqslant 1)$维实线性空间$V$的线性变换，证明：$sigma$至少有一个维数为1或2的不变子空间

特征子空间

$f命题：$设$A$为$n$阶矩阵，若存在$n$维列向量$alpha $，使得$alpha ,Aalpha , cdots ,{A^{n - 1}}alpha $线性无关，则$A$的特征子空间都是一维的

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$f命题：$

附录(不变子空间)

$f命题：$设$sigma$为复线性空间$V$的线性变换，证明：$sigma$相似于对角阵充要条件是对任意的$sigma$不变子空间$U$，都有$sigma$不变子空间$W$，使得$V = U oplus W$

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$f命题：$