中国剩余定理

中国剩余定理说明：假设整数m₁,m₂, ... ,m_n两两互质，则对任意的整数：a₁,a₂, ... ,a_n，方程组

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

是整数m₁,m₂, ... ,m_n的乘积，并设

是除了m_i以外的n- 1个整数的乘积。

设

为

模

的数论倒数(

为

模

意义下的逆元)

方程组

的通解形式为

在模

的意义下，方程组

只有一个解：

证明 ：

从假设可知，对任何

，由于

，所以

这说明存在整数

使得

这样的

叫做

模

的数论倒数。考察乘积

可知：

所以

满足：

这说明

就是方程组

的一个解。

另外，假设

和

都是方程组

的解，那么：

而

两两互质，这说明

整除

. 所以方程组

的任何两个解之间必然相差

的整数倍。而另一方面，

是一个解，同时所有形式为：

的整数也是方程组

的解。所以方程组所有的解的集合就是：

（从公式逆推）

 

poj1006生理周期：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[4],st,M,cnt;
int main()
{
    M=23*28*33;
    while(scanf("%d",&a[1])!=-1)
    {
    cnt++;
    scanf("%d%d%d",&a[2],&a[3],&st);
    if(a[1]==-1)break;
    int ans=(5544*a[1]+14421*a[2]+1288*a[3]-st+M)%M;
    if(!ans)ans=M;
    printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.
",cnt,ans);
    }
    return 0;
}