2011年 阿里巴巴 笔试题集 第23题
一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次.
方法1：传统求期望的方法
这题可以翻译为，一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3，随机扔骰子，在第x次时3个数都出现，求这个x的期望（也就是扔无数次，x的平均值是多少）
思路：
第一二次肯定不可能出现这种情况
第x(x > 2)次三个都出现的情况分三种（x ^ y 表示 x 的 y 次方）
1：第x次出现 1，那么前面出现的必然是 2 和 3 ，且至少出现一次
出现1的概率为 1 / 6，前面x-1次不出现1的概率为(1 - 1 / 6) ^ (x - 1)，
但是其中包含全是 2 和全是 3 的情况，去掉全 2 的概率 (1 / 2) ^ (x - 1)，全部为3的概率(1 / 3) ^ (x - 1)，
那么情况 1 的概率为 ((1 - 1 / 6) ^ (x - 1) - (1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 3) ^ (x - 1)) * (1 / 6)
2：第x次出现2，那么前面出现的必然是 1 和 3 ，且至少出现一次 同样，概率为 ((1 - 1 / 3) ^ (x - 1) - (1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 6) ^ (x - 1)) * (1 / 3)
3：第x次出现3，那么前面出现的必然是 1 和 2 ，且至少出现一次 同样，概率为 ((1 - 1 / 2) ^ (x - 1) - (1 / 3) ^ (x - 1) - (1 / 6) ^ (x - 1)) * (1 / 2)
p(x)就为上面三种情况的和
那么，根据期望公式，平均值就等于从x = 3 到 n（无穷）求(x * p(x))的和
以上引用：http://ilewen.com/questions/1534
这个用组合数学的方法也很强，主要是他求极限的方法：http://blog.csdn.net/wongson/article/details/7974587
设在第n次实验中1、2、3没有全部出现的事件为Xn(n>=3)
在某次抛骰子中 1出现的概率为1/6; 2出现的概率为1/3;3出现的概率为1/2;
P(Xn) = (1/6+1/3)n+(1/6+1/2)n+(1/3+1/2)n-(1/6)n-(1/3)n-(1/2)n //容斥原理
方法2：指示器随机变量
首先介绍一下指示器随机变量。
指示器随机变量为概率与期望之间的转换提供了一个便利的方法。给定一个样本空间S和事件A，那么事件A对应的指示器随机变量I{A}定义为
I(A)=1 如果A发生的话；0 如果A不发生的话。
首先证明以下结论：
抛N次，123没有全部出现的概率，记为p(n),很容易通过容斥原则求出p(n)。
对p(n)从n=0到无穷求和。即为题目所求的期望。
定义随机变量X_n=1表示事件“前n次投掷骰子,123没能全部出现”发生，X_n=0表示这个事件没发生，即X_n是该事件的指示变量。
令p(n)为“投n次骰子，123没能全部出现”的概率，即X_n的数学期望为：
E[X_n] = 1*Pr[X_n=1]+0*Pr[X_n=0]=p(n)
令随机变量X表示投掷到多少次时，123刚好全部出现过。
最关键的一步是发现一下的恒等关系：
X=X_0+X_1+X_2+X_3+......
即X为所有X_n的和，n=0到无穷。
例如：假设投掷到第7次时123刚好全部出现，即X=7，即X_0到X_6都为1，从X_7开始至n无穷,X_n都为0.
我们的目标是求E[X]，根据期望的线性，有：
E[X] = E[X_0] + E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]+...
注意尽管各个X_n之间并不独立，但线性期望对于任何随机变量都是无条件成立的，所以我们总可以轻松吧问题化整为零。
前面已经能够知道E[X_n]=p(n),而且p(n)可以用容斥原理则轻松算出。因此所求期望就是所有p(n)的和，n=0到无穷，这是一个简单的几何级数。
p(n)=(1/2+1/3)^n + (1/2+1/6)^n+(1/3+1/6)^n - (1/2)^n-(1/3)^n-(1/6)^n
=(5/6)^n+(2/3)^n-(1/3)^n-(1/6)^n ;(n>=3)
而p(0)=p(1)=p(2)=1;
那么这个答案应该是
而几何级数1+q+q^2+q^3+....=1/(1-q)
因此E[x] = 3+f(5/6)+f(2/3)-f(1/3)-f(1/6) = 7.3
f(x) = x^3/(1-x);
以上引用：http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209（4楼评论）加以修改了
方法3：分叉树递归列方程法
L2,L3如最右L1一样，还可以继续展开，如下方程所示
根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：
L123 = p1 (L23+ 1) + p2 (L13+1) + p3 (L12 + 1) = p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 + 1
（以这个L123为例，投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次，于是长度期望是L23+ 1，加1是因为投掷了一次，亦即即增进一级）
L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 + 1
L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 + 1
L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 + 1
L1 =p1 ·1 + p2 (L1+1) + p3 (L1 +1) = p2 L1+ p3 L1 + 1
L2 = p1 L2 + p3 L2 + 1
L3 = p1 L3 +p2 L3+ 1
带入p1=1/6,p2=1/3,p3=1/2即可得到。
引用参考：