这是个很简单的矩阵练习题，录在这里玩玩。
1. 问题描述
一个 \(n \times n\) 的方阵，所有对角元都是 0，所有非对角元都是 1，求本征值。
\[M_n = \left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
2. 问题解答
假设行列式
\[A_n ( \lambda ) = \left|
\begin{array}{ccccc}
\lambda & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\
\end{array}
\right|, ~~~~~ B_n(\lambda ) = \left|
\begin{array}{ccccc}
-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\
-1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\
\end{array}
\right|,
\]
所以这个本征值问题就是求 \(A_n(\lambda) = 0\) 的根。
容易看出，
\[A_n(\lambda) = \lambda A_{n-1}(\lambda) + (n-1)B_{n-1}(\lambda), \\
B_n(\lambda) = - A_{n-1}(\lambda) + (n-1)B_{n-1}(\lambda).
\]
根据 \(A_1(\lambda) = \lambda, B_1(\lambda) = -1\)，再推几项，很容易总结出：
\[A_n(\lambda) = (\lambda + 1)^{n-1}[ \lambda - (n-1)], \\
B_n(\lambda) = - (\lambda + 1)^{n-1}.
\]
可以验证，它们满足上面的递推式。
3. 本征矢特点
\(\lambda = n-1\) 的时候，本征矢最具对称性:
\[\vec{v} = \left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{array}
\right]
\]