参考书：F. R. Gantmacher 《The Theory of matrices》Vol. 2
1. 厄米、正交矩阵 (G = I e^{iK})，(I) 为实对称对合矩阵，(K)为实反对称矩阵，(I,K)对易。
设实矩阵 (S,T) 满足 (G = S + iT)，因为 (G) 是厄米，所以有
[S^ op - i T^ op = S + i T, Rightarrow S 对称，T 反对称
]
因为 (G) 是正交阵，所以有
[E = ( S + i T ) (S - i T) = S^2 + T^2 + i (TS - ST ), Rightarrow S,T对易，S^2 + T^2 = E
]
因为实数阵 (S,T) 是对易的正规算子，所以有正交归一基，在该基下，(S) 对应实数对角阵，(T) 对应反对称的实数正则矩阵。因为 (S^2 + T^2 = E)，所以在正则矩阵的每个 (2 imes 2) 的分块中，
[S = Q [ egin{smallmatrix} mu & 0 \ 0 & mu end{smallmatrix} ] Q^ op, T = Q[ egin{smallmatrix} 0 &
u \ -
u & 0 end{smallmatrix} ]Q^ op,
]
有 (mu^2 - u^2 = 1)，那些单个的实数特征值则绝对值为 (1)，另外，
[epsilon e^{ i[ egin{smallmatrix} 0 & varphi \ -varphi & 0 end{smallmatrix} ] } = epsilon [ egin{smallmatrix} cosh varphi & i sinh varphi \ -i sinh varphi & cosh varphi end{smallmatrix} ],
]
所以取 (mu = epsilon cosh varphi, epsilon = pm 1, epsilon sinh varphi =
u) 即可。
所以，(G = I e^{iK})，
[I = diag{ epsilon_1, epsilon_1, cdots }, ~~ K = Q{ [ egin{smallmatrix} 0 & varphi_1 \ -varphi_1 & 0 end{smallmatrix} ], [ egin{smallmatrix} 0 & varphi_2 \ -varphi_2 & 0 end{smallmatrix} ], cdots }Q^ op。
]
显然 (I) 是对合阵，(I,K)对易。
2. 厄米、正交、正定矩阵(G)
多一个正定条件，则(G)的特征值都是正的，那么可以计算得到，所有 (epsilon = 0), (G) 的特征值为 (e^{pm varphi_1}, cdots, 1, 1, cdots)，上式中 (I = E)。
3. 任意复数的正交矩阵 (Q= R e^{iK})，其中 (R) 是实数正交矩阵，(K) 是实数反对称矩阵
- 因为 (Q) 是正交阵，即 (Q^ op Q = Q Q^ op = E)，所以构造 (Q^dagger Q)，既是厄米的，也是正交的，也是正定的，所以有 (Q^dagger Q = e^{iK}), (K)是反对易正则形式，如 #1 中所示。
- 假设 (Q = R e^{iK/2}), 则有 (R = Q e^{-iK/2})，可以检验，(R) 是幺正、正交阵，即实数正交阵，而 (K) 是实数反对称阵，所以得证。
这个定理的形式非常妙！就像复数的指数形式一样！
4. 对称、幺正矩阵 (D = e^{iS})，(S) 是一个实对称矩阵
证明省略。
5. 任意幺正矩阵 (U = Re^{iS})，(R)是实正交阵，(S)是实对称阵。
证明省略。这两个定理的证明都非常类似于上面记录的过程。