BCS方程和Bogoliubov变换

BCS 方程和 Bogoliubov 是处理对关联的经典内容。一半是学习，一半是为了教学，这里我写下了较为完整的推导过程。我欣赏 Bogoliubov 变换，它把 BCS 波函数变为准粒子真空，在此基础上，构造的准粒子激发可以看做是准粒子的自由气体，这很漂亮，虽然是在粒子数不守恒的 BCS 框架下，也还是很漂亮，具有形式的美感。
参考来源：
P. Ring, P. Shuck, 《The nuclear many-body problem》
Lawson, 《Theory of the nuclear shell model》

1. BCS方程

1.1 拟设

假设波函数的形式为

[psi = prod_{ k >0} ( u_k + v_k a^dagger_{k} a^dagger_{ar{k}} ) |0 angle, ]

(ar{k})表示(k)的时间反演态，(k>0)表示(k)只遍历一半的单粒子轨道。若(a^dagger_k=a^dagger_{j,m})，则(a^dagger_ar{k}=(-1)^{j-m}a^dagger_{j,-m})（约定未明）。显然这个波函数形式粒子数是不守恒的，但是第三角动量为 (M=0)。
如果定义(S)对产生算符

[S_+(k) = a^dagger_k a^dagger_{ar{k}}, ~~~ S_+ = sum_{k>0} frac{v_k}{u_k} a^dagger_k a^dagger_{ar{k}} = sum_{k>0} frac{v_k}{u_k} S_+(k). ]

则

[psi = ( prod_{k>0}u_k ) prod_{k>0} ( 1 + frac{v_k}{u_k} S_+(k) ) | 0 angle = ( prod_{k>0}u_k ) ( 1 + sum_k frac{v_k}{u_k} S_+(k) + sum_{k > k'} frac{v_k v_{k'}}{u_k u_{k'}} S_+(k) S_+(k') + cdots ) |0 angle. ]

1.2 指数形式

另外，

[e^{S_+} = e^{ sum_{k>0} frac{v_k}{u_k} S_+(k) } | 0 angle = prod_k e^{ frac{v_k}{u_k} S_+(k)} | 0 angle = prod_{ k >0} ( 1 + frac{v_k}{u_k} a^dagger_{k} a^dagger_{ar{k}} ) |0 angle, ]

所以有

[psi = ( prod_{k>0}u_k ) e^{ S_+ } | 0 angle. ]

1.3 归一化

(psi)的模方为

[langle psi | psi angle = langle prod_{ k >0} ( u_k + v_k a^dagger_{k} a^dagger_{ar{k}} ) | prod_{ k' >0} ( u_{k'} + v_{k'} a^dagger_{k'} a^dagger_{ar{k'}} ) angle = prod_k (u^2_k + v^2_k). ]

我不知道怎么显白地展示上式如何得到，虽然我心里觉得很显然。我想的话，至少可以用归纳法证明，在脑子里想了一下归纳法，确实是的。
所以，如果设定

[u^2_k + v^2_k = 1, ]

就可以保证波函数的归一性。

1.4 粒子数期望值

定义

[hat{N}_k = a^dagger_k a_k, ~~~ hat{N} = sum_k hat{N}_k. ]

而

[langle psi |hat{N}_k | psi angle = langle prod_{ k >0} ( u_k + v_k a^dagger_{k} a^dagger_{ar{k}} )| hat{N}_k + hat{N}_{ar{k}} | prod_{ k' >0} ( u_{k'} + v_{k'} a^dagger_{k'} a^dagger_{ar{k'}} ) angle = 2 v^2_k, ]

所以有

[langle psi | hat{N} | psi angle = 2 sum_k v^2_k. ]

1.5 哈密顿量期望值

单体 + 两体的哈密顿量一般形式为

[hat{H} = sum_{k_1, k_2 } t_{k_1 k_2} a^dagger_{k_1} a_{k_2} + frac{1}{4} sum_{ k_1 k_2 k_3 k_4 } V_{k_1 k_2 k_3 k_4} a^dagger_{k_1} a^dagger_{k_2} a_{k_4} a_{k_3}. ]

为了方便计算，可以稍微改写如下，

[hat{H} = sum_{k_1, k_2 } t_{k_1 k_2} a^dagger_{k_1} a_{k_2} + sum_{ k_1 > k_2, k_3 > k_4 } V_{k_1 k_2 k_3 k_4} a^dagger_{k_1} a^dagger_{k_2} a_{k_4} a_{k_3}. ]

首先单体算符在BCS波函数上的期望值很容易求：

[E_1 = sum_k t_{kk} v^2_k. ]

然后讨论这种情况：如果(k_1, k_2)配对，即(k_2 = ar{k}_1)，则(k_4=ar{k}_3)，否则期望值为０，得到

[E^{1}_2 = sum_{k,k' >0} V_{k ar{k} k' ar{k'}} u_k v_k u_{k'} v_{k'}, ]

如果(k_1, k_2)不配对，即(k_2 eq ar{k_1})，则(k_4 eq ar{k_3})，有

[E^2_2 = frac{1}{2} sum_{k' eq ar{k}} V_{k k' k k'} v^2_k v^2_{k'}. ]

所以，整个哈密顿量的期望值为

[langle BCS | hat{H} | BCS angle = sum_k t_{kk } v^2_k + sum_{k,k' >0} V_{k ar{k} k' ar{k'}} u_k v_k u_{k'} v_{k'} + frac{1}{2} sum_{k' eq ar{k}} V_{k k' k k'} v^2_k v^2_{k'}. ]

1.6 BCS方程

标记 (v_{ar{k}} = - v_{k}, u_{ar{k}} = u_k, k>0)，则有

[frac{ partial }{ partial v_k } langle BCS | hat{H} | BCS angle = (frac{partial}{partial v_k} + frac{partial u_k}{partial v_k} frac{ partial }{ partial u_k } ) langle BCS | hat{H} | BCS angle \ = sum_k 2(t_{kk} + t_{ar{k}ar{k}})v_k + 2 sum_{k'>0} V_{k ar{k} k' ar{k'}} u_k u_{k'} v_{k'} + 2 sum_{k' eq ar{k}} V_{kk'kk'}v_k v^2_{k'} - 2 sum_{k'>0} V_{k ar{k} k' ar{k'}} v^2_k u_{k'} v_{k'} / u_k. ]

此外，为了保证粒子数期望值为目标值(N)，还需要添加拉格朗日乘子，再令偏导数为零：

[frac{ partial }{ partial v_k } langle BCS | hat{H} - lambda hat{N} | BCS angle = 0. ]

得到的方程为

[2 ar{epsilon_k} u_k v_k + Delta_k (v^2_k - u^2_k) = 0, k >0. ]

其中

[ar{epsilon_k} = frac{1}{2} [ t_{kk} + t_{ar{k}ar{k}} + sum_{k' eq ar{k}} (V_{kk'kk'} + V_{ar{k} k' ar{k} k'}) v^2_{k'} ] - lambda,\ Delta_k = - sum_{k'>0} V_{k ar{k} k' ar{k'}} u_{k'} v_k. ]

这里我推的和 Ring&Shuck 书上的结果有点不同，Ring&Shuck 的 (ar{epsilon_k}) 的定义式右侧求和符号是对所有 (k')，我的是对所有 (k' eq ar{k})。

如果已知 (ar{epsilon_k}) 和 (Delta_k)，则有

[v^2_k = frac{1}{2} [ 1 pm frac{ ar{epsilon_k} }{ sqrt{ar{epsilon_k}^2 + Delta^2_k} } ],\ v^2_k = frac{1}{2} [ 1 mp frac{ ar{epsilon_k} }{ sqrt{ar{epsilon_k}^2 + Delta^2_k} } ]. ]

为了使得 (ar{epsilon_k}<0) 的轨道占据率高于 (ar{epsilon_k}>0)的轨道，取

[v^2_k = frac{1}{2} [ 1 - frac{ ar{epsilon_k} }{ sqrt{ar{epsilon_k}^2 + Delta^2_k} } ],\ v^2_k = frac{1}{2} [ 1 + frac{ ar{epsilon_k} }{ sqrt{ar{epsilon_k}^2 + Delta^2_k} } ]. ]

另外还有约束

[langle BCS | hat{N} | BCS angle = 2 sum_{k>0} v^2_k = N, ]

一共构成 (Omega_j +1) 个非线性方程，通过迭代求解。

1.7 小结

• BCS波函数是一个粒子数不守恒的波函数，可以看作是一个“广义”的波函数，含有粒子数为(0,2,4,cdots)的组态。
• 因为简单的假设，不同粒子数的组态之间不是自由的，幅度与结构都受假设的限制。如果假设所有(v_k = v_j, u_k = u_j)，则(N)个粒子的组态的几率为((u_j)^{2Omega_j}( frac{v_j}{u_j} )^{N} C^{N/2}_{Omega_j})，所以可能是增大再减小。假设 (Omega_j = 6, u_j = v_j = frac{1}{sqrt{2}})，则不同粒子数组态的概率为
  
• 如果不是实实在在的粒子，而是激发的类似于声子的准粒子，可能更自然一点。
• 后续的能量最低的要求，是这样一个广义的波函数的能量最低，可以看做若干不同的核的基态的叠加形式的近似。
• 可以看到，哈密顿量期望值中只出现了 (V_{kar{k} k' ar{k'}}, V_{kk'kk'})，因为波函数形式的限制，其他关联被排除在外了。

2. Bogoliubov 变换

如前所述，约定(u_{ar{k}} = u_k, v_{ar{k}} = - v_k)，定义新的算符

[alpha^dagger_k = u_k a^dagger_k - v_k a_{ar{k}}, \ alpha_k = u_k a_k - v_k a^dagger_{ar{k}}, ]

那么则有费米子反对易规则：

[{ alpha_k, alpha_{k'} } = 0, ~~~~ { alpha_k, alpha^dagger_{k'} } = delta_{kk'}. ]

另外，请睁大眼睛，看下面的操作：

[alpha_{ar{k}} alpha_k | 0 angle = ( u_k a_ar{k} + v_k a^dagger_k )( u_k a_k - v_k a^dagger_ar{k} ) | 0 angle = - v_k ( u_k + v_k a^dagger_k a^dagger_ar{k} ) | 0 angle ]

所以，

[prod_k alpha_k | 0 angle = pm (prod_{k>0} v_k) | BCS angle, ]

正负号取决于等式左边连乘的顺序。
在这个意义上，把 (alpha^dagger_k) 看做是准粒子，则 BCS 波函数可以看做是准粒子真空。这个准粒子既具有粒子产生算符，也有粒子湮灭算符，在未占据的高能轨道上，(v_k)很小所以准粒子接近粒子，在占据率较高的低能轨道上，(v_k)很大所以准粒子接近空穴。当然，这个准粒子是粒子数不守恒的，在这整个笔记中，粒子数都是不守恒的。