1 一阶线性近似
函数 f(x) 的一阶导数为 
，使用较小变化量代替微分量得 
，令 
，
，
进一步整理得 
，当已知 
，则可以求解 
的一阶近似解为 y。
2 求解近似解
1）函数 
，求解 f(11) ？
已知 f(9) = 3，使用线性近似得 
。
2）函数 
，求解 f(.99) ?
已知 f(1) = 0，使用线性近似得 
。
3 常用函数的一阶近似(x 在 0 附近）
4 一阶线性近似误差
原函数使用泰勒级数展开为 
，
误差函数可表示为 
，
由于 
远大于 
，误差函数可近似表达为 
，
当 
时，线性近似值低于真实值；当 
时，线性近似值高于真实值。
5 雅可比矩阵
当函数输入输出变量均为向量时，已知 
，求解 
附近 
的线性近似值？
类似的，有 
，其中 
表示函数 在 
处的一阶偏导构成的矩阵，即为雅可比矩阵。
令 
，
，函数 
可改写方程组 
，
分别求解方程组中每一个函数的一阶近似为 
，
整理成矩阵形式为 
，
，
附近 的线性近似值可表示为 
。
6 牛顿法求解方程
给定方程 f(x) = 0，由于并不是每一个方程都可以轻松求解准确解，可以使用牛顿法求解近似解。方法如下：
1）找到一个猜测解，记录为 
，给出该点处线性方程为 
；
2）寻找线性方程在 X 轴上交点位置 
，一般情况下，该交点位置是方程 f(x) = 0 的一个更好的近似解；
3）重复 2）直到 
足够接近 0 为止。
牛顿法并不一定能够迭代出足够精确的解，当第一个猜测解位置较远时，可能无法得到一个正确的解。猜测解的主要原则是猜测解与真实解区间的一阶导数符号一致，且比较接近。
以下某些情形，可能导致牛顿法失效，主要包括：
1）
接近 0，迭代过程 使得 
无限远离 
；
2）f(x) = 0 存在多个解，使得收敛解与期望解不一致；
3）其他一些无限循环情况；
总之，在迭代过程中需要判断迭代解收敛情况，根据收敛情况判断是否可以通过牛顿法寻找近似解。
7 高阶近似
使用一阶线性近似时，其误差值为 ，为了得到一个更加精确的近似值，可以使用二阶近似，公式如下：
，其近似误差为 
。
令 
， 
，
一阶近似可表示为 
, 对函数求导数得 
，由于 
，得 
；
二阶近似可表示为 
，对函数求二阶导数得 
，由于 
，得 
；
同理，可以求得N阶近似各项系数为 
。
参考资料 The Calculus Lifesaver Adrian Banner