数据结构--二叉树

引言

树是一种比较重要的数据结构，尤其是二叉树。在这里简单介绍二叉树。

二叉树是一种特殊的树，在二叉树中每个节点最多有两个子节点，一般称为左子节点和右子节点（或左孩子和右孩子），并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

1. 二叉树

1.1 二叉树的定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

如下是一棵普通的二叉树：

1.3 斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

如下是一棵右斜树：

1.3 满二叉树

定义：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

如下是一棵满二叉树：

1.4 完全二叉树

定义：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

如下是一棵完全二叉树：

完全二叉树的特点：

1. 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2. 最下层的叶子结点集中在树的左部。
3. 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4. 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5. 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。

【区别】

也就是说，在满叉树的基础上，我在最底层从右往左删去若干节点，得到的都是完全二叉树。

所以说，满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树

1.5 二叉树的使用场景

普通的二叉树，很难构成现实的应用场景，但因其简单，常用于学习研究，平衡二叉树则是实际应用比较多的。常见于快速匹配、搜索等方面。

常用的树有：AVL树、红黑树、B/B+树、Trie（字典）树。

• AVL树：最早的平衡二叉树之一。应用相对其他数据结构比较少。windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。
• 红黑树：集合map和set都是用红黑树实现的。还有Linux文件管理。
• B/B+树：用在磁盘文件组织 数据索引和数据库索引。
• Trie树(字典树): 用在统计和排序大量字符串，如自动机、M数据库索引。

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2. 二叉树的遍历

2.1 存储方式

二叉树的存储分为顺序存储和链式存储 。顺序存储在右斜树这种极端情况下，会十分浪费存储空间，顺序存储结构一般适用于完全二叉树。因此二叉树的存储一般会使用链式存储，在这里只介绍链式存储：

二叉树的链式存储结构，将节点的数据结构定义为一个数据域和两个指针域，如下图所示：

则完整的二叉树可以表示为：

对于节点的声明，使用java代码可如下声明：

public class TreeNode {
    String data;
    TreeNode LChild;
    TreeNode RChild;
    TreeNode(String data) {
        this.data = data;
    }
}

2.2 遍历方式

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。

二叉树的遍历方式可以分为四种：

• 前序遍历：root >> left >> right
• 中序遍历：left >> root >> right
• 后续遍历：left >> right >> root
• 层序遍历：按照层次遍历

对于如上图二叉树的遍历结果为：

前序遍历：ABCDEFGHK

中序遍历：BDCAEHGKF

后序遍历：DCBHKGFEA

前序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

3. 代码实现

3.1 定义二叉树节点存储结构

class TreeNode {
        String root;
        TreeNode LChild;
        TreeNode RChild;

        TreeNode(String root) {
            this.root = root;
        }

        public String toString() {
            return root;
        }
    }

3.2 构建二叉树

对于二叉树的构建，使用前序遍历构建比较合适也较为简单。但是在构建的时候要使二叉树左右子树都有数据，如下图为要构建的二叉树：

在构建时要表示为如下的二叉树：

对于阴影的部分我们使用 ”.“ 表示，即以上的二叉树我们可用数组表示为：

String[] tree = {"A", "B", ".", "C", "D", ".", ".", ".", "E", ".", "F", "G","H",".", ".","k",".",".","."};

3.3 完整代码

public class TreeTest {

    class TreeNode {
        String root;
        TreeNode LChild;
        TreeNode RChild;

        TreeNode(String root) {
            this.root = root;
        }

        public String toString() {
            return root;
        }
    }

    private static String[] install = {"A", "B", ".", "C", "D", ".", ".", ".", "E", ".", "F", "G","H",".", ".","k",".",".","."};
    private static int i = 0;
    //使用前序遍历构建二叉树
    TreeNode createBTree() {
        TreeNode treeNode = null;
        String data = install[i++];
        if (data.equals(".")) {
            return treeNode;
        } else {
            treeNode = new TreeNode(data);
            treeNode.LChild = createBTree();
            treeNode.RChild = createBTree();
            return treeNode;
        }
    }


    //前序遍历
    void preOrderTree(TreeNode tree) {
        if (tree != null) {
            System.out.print(tree + " ");
            preOrderTree(tree.LChild);
            preOrderTree(tree.RChild);
        }
    }

    //中序遍历
    void inOrderTree(TreeNode tree){
        if (tree != null) {
            inOrderTree(tree.LChild);
            System.out.print(tree + " ");
            inOrderTree(tree.RChild);
        }
    }

    //后序遍历
    void afterOrderTree(TreeNode tree){
        if (tree != null) {
            afterOrderTree(tree.LChild);
            afterOrderTree(tree.RChild);
            System.out.print(tree + " ");
        }
    }

    //层序遍历
    public int TreeDepth(TreeNode tree) {
        if(tree == null){
            return 0;
        }
        int left = TreeDepth(tree.LChild);
        int right = TreeDepth(tree.RChild);
        return (left > right) ? (left+1) : (right+1);
    }

    //测试
    public static void main(String[] args) {
        TreeTest test = new TreeTest();
        TreeNode bTree = test.createBTree();
        test.preOrderTree(bTree);	//A B C D E F G H k 

        System.out.println();
        test.inOrderTree(bTree);	//B D C A E H G k F 

        System.out.println();
        test.afterOrderTree(bTree);	//D C B H k G F E A 

        System.out.println();
        int depth = test.TreeDepth(bTree);
        System.out.println(depth);	//5
    }

}