RMQ ST算法

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。
最简单当然是遍历，时间复杂度O(n)，但是在数据较大以及 查询次数比较多的情况下，较差。
主要介绍的ST算法，ST算法是一种基于DP的在线算法。该算法通过对数据进行预处理（时间复杂度O(nlogn))，便可以快速的返回每一个查询结果（时间复杂度O(1))。
ST算法的预处理：
设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）
例如：
A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）
这样，DP的状态、初值都已经有了。
我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)
{
    for(int j = 1; j < 20; ++j)
        for(int i = 1; i <= num; ++i)
            if(i + (1 << j) - 1 <= num)
            {
                maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
                minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            }
}

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。
状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。
而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],….A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

查询：
假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，在程序中为int k=(int)(log(b-a+1)/log(2));要注意类型（int）的强制转换。
则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

在这里我们也需要注意一个地方，就是<<运算符和+-运算符的优先级。
比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

例题：
RMQ算法，区间最小值与最大值的差。
士兵杀敌 http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=119
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

#define MAX (a)>(b)?(a):(b)
#define MIN (a)>(b)?(b):(a)

int maxnum[100055][20];
int minnum[100055][22];

void RMQ(int num)
{
    for(int j=1;j<20;++j)
    {
        for(int i=1;i<=num;++i)
        if(i+(1<<j)-1<=num)
        {
            maxnum[i][j]=max(maxnum[i][j-1],maxnum[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            minnum[i][j]=min(minnum[i][j-1],minnum[i+(i<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int main()
{
    int n,t;
    while(scanf("%d%d",&n,&t)!=EOF)
    {
        memset(maxnum,0,sizeof(maxnum));
        memset(minnum,0,sizeof(minnum));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&maxnum[i][0]);
            minnum[i][0]=maxnum[i][0];
        }
        RMQ(n);
        for(int i=0;i<t;i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            int k=(int)(log(b-a+1)/log(2));
            int maxans=max(maxnum[a][k],maxnum[b-(1<<k)+1][k]);
            int minans=max(minnum[a][k],minnum[b-(1<<k)+1][k]);
            printf("%d
",maxans-minans);
        }
    }
    return 0;
}