拓扑排序之课程表问题

1. 题目描述

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为0到numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组prerequisites 给出，其中prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程ai 则 必须 先学习课程bi 。

• 例如，先修课程对[0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
  请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

2.解题思路

2.1 广度优先 根据入度拓补排序

1. 统计课程安排图中每个节点的入度，生成 入度表 indegrees。
2. 借助一个队列 queue，将所有入度为 0 的节点入队。
3. 当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：

• 并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点对应所有邻接节点 cur 的入度 -1，即 indegrees[cur] -= 1。

• 当入度 -1后邻接节点 cur 的入度为 0，说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”，此时将 cur 入队。

4. 在每次 pre 出队时，执行 numCourses--；

• 若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为 0。

• 因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。

时间复杂度 O(N + M)

空间复杂度 O(N + M)

2.2 深度优先 判断图中是否有环

1.借助一个标志列表 flags，用于判断每个节点 i （课程）的状态：

• 未被 DFS 访问：i == 0；
• 已被其他节点启动的 DFS 访问：i == -1；
• 已被当前节点启动的 DFS 访问：i == 1。

2.对 numCourses 个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。

3.当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点 flag 置为 -1 并返回 True。
若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 True。

3. 代码实现

一般这种问题上来先生成邻连表， 后续问题处理起来比较方便

// 1. 广度优先搜索 入度表
func canFinish(numCourses int, prerequisites [][]int) bool {
	// 邻连表
	adjacency := make([][]int, numCourses)
	// 入度表
	indegrees := make([]int, numCourses)
	for _, prerequisite := range prerequisites {
		indegrees[prerequisite[1]]++
		adjacency[prerequisite[1]] = append(adjacency[prerequisite[1]], prerequisite[0])
	}
	queue := []int{}
	for i := 0; i < numCourses; i++ {
		if indegrees[i] == 0 {
			queue = append(queue, i)
		}
	}
	for len(queue) > 0 {
		node := queue[0] // 出队
		queue = queue[1:]
		numCourses--
		// 将队头节点相连的节点的入度-1
		for i := 0; i < len(adjacency[node]); i++ {
			indegrees[adjacency[node][i]]--
			// 入度为0加入队列
			if indegrees[adjacency[node][i]] == 0 {
				queue = append(queue, adjacency[node][i])
			}
		}
	}
	return numCourses == 0
}

// 2. 深度优先搜索 判断图中是否有环
func canFinish(numCourses int, prerequisites [][]int) bool {
	adjacency := make([][]int, numCourses)
	flag := make([]int, numCourses)
	for _, prerequisite := range prerequisites {
		adjacency[prerequisite[1]] = append(adjacency[prerequisite[1]], prerequisite[0])
	}
	for i := 0; i < numCourses; i++ {
		if !dfs(adjacency, flag, i) {
			return false
		}
	}
	return true
}
func dfs(adjacency [][]int, flag []int, i int) bool {
	if flag[i] == -1 {
		return true
	}
	if flag[i] == 1 {
		return false
	}
	flag[i] = 1
	for j := 0; j < len(adjacency[i]); j++ {
		if !dfs(adjacency, flag, adjacency[i][j]) {
			return false
		}
	}
	flag[i] = -1
	return true
}

leetcode 207. 课程表

参考链接