关于级数∑(x n－x n1)一致收敛性的一点儿理解

 

a.  ∑(x ⁿ－x ^n-1)这个级数的一致收敛性有点意思。它在(0，1)这个开区间上不一致收敛，但若任意给一个正数r<1，则在[0，r]这个闭区间上却一致收敛。听上去不是一般地绕。当然判断级数的一致收敛性可以方便地用weierstrass定理（我觉得这个定理证明一个级数是一致收敛的还好用，若证不是一致收敛的就有点难了），不过我这里说的是根据定义去如何理解。

 

b.  先看看一致收敛的定义：设有函数项级数∑u_n (x)。如果对于任意给定的正数ε，都存在着一个只依赖于ε的自然数N，使得当n>N时，对区间I上的一切x，都有不等式

| r_n (x) |=| s(x)－s_n (x) | < ε

成立，则称函数项级数∑u_n (x)在区间I上一致收敛于和s(x)，也称函数序列{ s_n (x) }在区间I上一致收敛于s(x)。呼，还好，还好….

 

c.  明白了，原来判断其是否一致收敛就是要看其余项的绝对值，拿∑(x ⁿ－x ^n-1)来试试：         

 ∵s(x)=lims_n (x)=lim(x ⁿ)=0    (n趋于无穷大)

                               ∴| r_n (x) |=| s(x)－s_n (x) |= x ⁿ

 这个值是不满足定义的，也就是说当我任给一个ε时，其对应一个N，但当n>N时，并非对区间上一切x都有不等式成立，再具体说就是在区间I上，总有不满足不等式的点存在。比如我现在取一个点x=a在区间内，即令0<a<1，那么显然0<a^{1/ n}<1也在区间内，因此x= a^{1/ n} 也属于区间内的点，也该接受检验。好了，现在我假设这个级数是一致收敛的，那么我取一个ε< a/2（ε可以任意取嘛），这很容易取到。按照定义，应该会有一个对应的N使得当n>N时，一切x都满足x ⁿ <ε< a/2，可是很显然，x= a^{1/ n} 这个点就不满足这个条件，因此这个假设是错误的。

 

d.  刚刚搞清这个，现在却要面对一个更让人匪夷所思的结论：这个级数虽然在（0，1）内不一致收敛，但如果任意给一个正数r<1，则在[0，r]这个闭区间上却一致收敛。这是什么意思？倘若我用刚才的思路如法炮制，在[0，r]内也找一个不满足条件的点不就使这个结论崩溃了吗？好吧，让我们再来演一遍：我取一点x=a在[0，r]区间内，那么x= a^{1/ n}也应在区间[0，r] 内，那么x= a^{1/ n}需要接受检验。现在我取一个ε< a/2，同样地，应该会有一个对应的N使得当n>N时，一切x都满足x ⁿ <ε< a/2，可是x= a^{1/ n} 这个点不满足这个条件，所以在[0，r]内该级数不是一致收敛的，这样结论就错了。

e.  如果各位对真理怀有一点敬畏的话，就不会胡乱怀疑前人总结出来的经典定理。事实上结论没有错，错的是上面那个推导，是推理过程发生了偏差。可是推理是仿效上面的正确推理，一切都按部就班，究竟错在哪里呢？我们来看一下：大家可以注意一下那行黑体字，实际上这个判断是没有根据的，x= a在[0，r]区间内，并不等于说x= a^{1/ n}一定也在区间[0，r] 内。正确的情况是：可能在其内也可能不在其内，比如令r=0.8,a=0.04,当n=2时，a^{1/ n} =0.2，在0.8内，但如果令r=0.1,就不在其内了（r可以是任意取的）据此，就不能以此作为判断依据。事实上，我猜想，如果最终结论是正确的话，那么x= a^{1/ n}应该是在区间[0，r] 之外的。虽然现在我已经不知道这到底意味着什么（太抽象了），不过我可以运用逻辑作如下证明：

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     命题：已知任意给一个正数r<1，在[0，r]这个闭区间上级数∑(x ⁿ－x ^n-1)一致收敛，即对于[0，r]内任意一点x都使得x ⁿ <ε成立，那么对于其内一点a（0 < a < r ）, a^{1/ n} 在[0，r]之外。

 

      证明：运用反证法。

     假设0 < a^{1/ n} < r 。取一个ε使得ε< a < r ，那么在[0，r]内对于任意x都有

     x ⁿ <ε

     做x ⁿ 的导数

     (x ⁿ)’ = nx ^n-1 >= 0

     因此该函数在[0，r]内单调递增，从而MAX{x ⁿ} = r ⁿ，

     因此有

     r ⁿ <ε

                                                   =>   r ⁿ <ε< a

                                                   =>   r< a^{1/ n}

            这与假设矛盾，故假设错误。a^{1/ n} > r , 即 a^{1/ n} 在[0，r]之外。证毕。^_^！

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f.  这个级数之所以这么特殊，是因为余项的形态和所选区间之故，因为余项为x ⁿ 而区间为（0，1），这就导致当x趋于1时无论n为多少余项必然会趋于1，因此x无限接近于1时，x ⁿ 也必然无限接近于1，这样就不满足接近于0（ε充分小）的条件了。这也就比较好形象地理解它为什么不是一致收敛了，对于一致收敛的级数，每一个区间内的点最终都会同时到达终点，但对于非一致收敛函数（像今天讨论的这个例子），虽然可以保证每一个区间内的点最终都会到达终点，但却不可能有同时全部都到达终点的情况，再详细点说，就是当你期待的那些非常远的点终于到达终点时，后面仍然总是有很多点还离终点尚早，然而它们也正朝终点赶来，最终它们也会到达终点，可是它们之后，还是会有前仆后继的点朝终点赶来。。。。。。今天的这个例子也有一个名字，叫“逐点收敛”。而“一致收敛”还有另外一个名字，叫“均匀收敛”。有关逐点收敛和均匀收敛更多的知识，可以查阅维基百科。

下面是我用flash as2 做出的y= x ⁿ 的曲线图，x取在（0，1）内，n分别取到1,2,3,10,20,30（n越大耗费的功夫越久，为了让这些曲线同时出现，机子问了我是否继续不下5遍…….）。

 

 

 

 

g.  我最近的感触，关于数学的，我发现这玩意越往下看越不能以常识和直观形象思维去理解，而是建立在一套抽象的，正确的逻辑上而进一步合理、仍然抽象地推理，以至于后面的定理我们根本不知道他在说什么，因为抽象的关系，我们能知道这个定理是正确而且有用的，但是我们的确不知道他在说什么。。。