洛谷P2585&ZJOI 2006-三色二叉树（树的染色-树形DP）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2585
CSDN食用链接：https://blog.csdn.net/qq_43906000/article/details/107965283

题目描述

一棵二叉树可以按照如下规则表示成一个由0,1,2组成的字符序列，我们称之为“二叉树序列S”：
(S=left{egin{matrix} 0 & 表示该树没有子节点\ 1S_1 & 表示该树有一个子节点,S_1为其子树的二叉树序列\ 2S_1S_2 &表示该树由两个子节点,S_1和S_2分别表示其两个子树的二叉树序列 end{matrix} ight.)
例如，下图所表示的二叉树序列(S=21200110)来表示。

你的任务是要对一棵二叉树的节点进行染色。每个节点可以被染成红色、绿色或蓝色。并且，一个节点与其子节点的颜色必须不同，如果该节点有两个子节点，那么这两个子节点的颜色也必须不同。给定一颗二叉树的二叉树序列，请求出这棵树中最多和最少有多少个点能够被染成绿色。

输入格式
输入只有一行一个字符串 ss，表示二叉树序列。

输出格式
输出只有一行，包含两个数，依次表示最多和最少有多少个点能够被染成绿色。

输入
1122002010
输出
5 2

说明/提示
数据规模与约定

对于全部的测试点，保证(1leq |s|leq5 imes 10^5),s只含字符0,1,2。

emmm，题难到不难，就是输入的处理恶心了点。。我们可以递归建一下树，可参考如下代码：

int dfs_wedge(char *s,int fa)
{
    if (!s[0]) return 0;
    int nb=1;
    cnt++;
    if (fa!=-1){
        g[cnt].push_back(fa);
        g[fa].push_back(cnt);
    }
    if (s[0]=='0') return nb;
    int u=cnt;
    nb+=dfs_wedge(s+1,u);
    if (s[0]=='2') nb+=dfs_wedge(s+nb,u);
    return nb;
}

那么接下来就是处理染色的问题了，对于最大的情况我们很容易考虑，和之前上司的舞会，最小点覆盖的情况类似，直接记录一下将其染成绿色和不染成绿色所需要的最大值就好了。实际上也就是将当前点染色的时候，所有的儿子不能染色，也就是(dp[u][1]=1+sum dp[v][0])，而当前点不染色的时候，儿子的情况就是要么全都不染色，要么只染其中一个，不能全都染（题目要求的。。。）那么也就是说如果有两个儿子的话就是(dp[u][0]=max(dp[v1][0]+dp[v2][0],max(dp[v1][0]+dp[v2][1],dp[v1][1]+dp[v2][0])))，如果只有一个儿子的话，我们直接取它的最大值就好了：$ dp[u][0]=max(dp[v1][0],dp[v1][1])$那么我们就很容易得出如下代码：

void dfs(int u,int fa)
{
    int v1=0,v2=0;
    for (int i=0; i<g[u].size(); i++){
    	int v=g[u][i];
        if (v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        dp[u][1]+=dp[v][0];
        if (v1) v2=v;
        else v1=v;
    }
    dp[u][1]++;
    if (v2) {
        dp[u][0]=max(dp[v1][0]+dp[v2][0],max(dp[v1][0]+dp[v2][1],dp[v1][1]+dp[v2][0]));
    }
    else if (v1) dp[u][0]=max(dp[v1][0],dp[v1][1]);
}

接下来考虑最小的情况。。。这个感觉有点糟。。。。我能全都不染色的吗？显然不行，如果一个节点有两个儿子，这种情况是必须要有绿色的，所以我们在对这种节点不染色的时候要注意，不能两个儿子都没有染，所以也就是必须有一个染色了：(dp[u][0]=min(dp[v1][1]+dp2[v2][0],dp[v1][0]+dp[v2][1]))而如果给当前节点染色。。。那么和max的情况就一样了。

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug printf("#@$@%
")
const int mac=5e5+10;

char s[mac];
vector<int>g[mac];
int cnt=0,dp[mac][3];
int dp2[mac][3];

int dfs_wedge(char *s,int fa)
{
    if (!s[0]) return 0;
    int nb=1;
    cnt++;
    if (fa!=-1){
        g[cnt].push_back(fa);
        g[fa].push_back(cnt);
    }
    if (s[0]=='0') return nb;
    int u=cnt;
    nb+=dfs_wedge(s+1,u);
    if (s[0]=='2') nb+=dfs_wedge(s+nb,u);
    return nb;
}

void dfs(int u,int fa)
{
    int v1=0,v2=0;
    for (int i=0; i<g[u].size(); i++){
    	int v=g[u][i];
        if (v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        dp[u][1]+=dp[v][0];
        dp2[u][1]+=dp2[v][0];
        if (v1) v2=v;
        else v1=v;
    }
    dp[u][1]++; dp2[u][1]++;
    if (v2) {
        dp2[u][0]=min(dp2[v1][1]+dp2[v2][0],dp2[v1][0]+dp2[v2][1]);
        dp[u][0]=max(dp[v1][0]+dp[v2][0],max(dp[v1][0]+dp[v2][1],dp[v1][1]+dp[v2][0]));
    }
    else if (v1) dp[u][0]=max(dp[v1][0],dp[v1][1]),dp2[u][0]=min(dp2[v1][0],dp2[v1][1]);
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    scanf ("%s",s+1);
    if (s[1]=='0') {printf("%d %d
",1,0); return 0;}
    dfs_wedge(s+1,-1);
    int n=strlen(s+1);
    dfs(1,-1);
    printf("%d %d
",max(dp[1][0],dp[1][1]),min(dp2[1][0],dp2[1][1]));
    return 0;
}