[洛谷P1850]换教室 概率与期望

题目←

要分清哪些状态是独立的，哪些状态对期望有影响
一开始傻傻的在通过和没通过之间取min……
事实上，在求期望的前提下，真正影响的决策是是否申请
以及万万没想到Floyd打次了
map[i][i] = 0才对

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发现当前时间段的状态仅仅可以由上一时间段的状态转移来
上一时间段的情况可能有以下几种

1、申请了换教室，过
2、申请了换教室，没过
3、没申请换教室

如果没有概率且我们要求的只是最大/最小值，就在换、未换两种情况里取min
但发现我们每个时间段需要做的决策不是换/不换
而是申请/不申请
（1、2两种状态不是我们能够决策的，他们出现的概率已经确定）
所以每个时间点就申请/不申请划分状态
dp[i][j][0/1]表示i时间段，总共申请了j段，而第i段申请/未申请

来梳理状态间的关系：
设(B_i)为原教室，(C_i)为更换后的教室
求i - 1 ~ i距离的时候，可能出现的状况有：
1、第i - 1时间段在(B_{i - 1})，第i时间段在(B_i)
2、第i - 1时间段在(C_{i - 1})，第i时间段在(B_i)
3、第i - 1时间段在(B_{i - 1})，第i时间段在(C_{i})
4、第i - 1时间段在(C_{i - 1})，第i时间段在(C_{i})

当阶段i我们选择不申请时：
第i时间段在(B_i)的概率：1
第i时间段在(C_i)的概率：0

若从第i - 1阶段未申请的状态转移过来
第i - 1时间段在(B_{i - 1})的概率：1
第i - 1时间段在(C_{i - 1})的概率：0
综上，这个转移为

[dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + map[$B_{i - 1}$][$B_{i}$] * 1 * 1 + map[$C_{i - 1}$][$B_{i}$] * 0 * 1 + map[$B_{i - 1}$][$C_{i}$] * 1 * 0 + map[$C_{i - 1}$][$C_{i}$] * 0 * 0;]

类比一下，若从i - 1申请了的状态转移过来
第i时间段在(B_i)的概率：1
第i时间段在(C_i)的概率：0
第i - 1时间段在(B_{i - 1})的概率：P[i - 1]
第i - 1时间段在(C_{i - 1})的概率：1 - P[i - 1]

这个转移为

[dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][1] + map[$B_{i - 1}$][$B_{i}$] * (1 - P[i]) * 1 + map[$C_{i - 1}$][$B_{i}$] * P[i] * 1 + map[$B_{i - 1}$][$C_{i}$] * 1 * 0 + map[$C_{i - 1}$][$C_{i}$] * 0 * 0]

继续类比
当阶段i我们选择申请时：
转移同样有两种可能，i - 1申请/未申请
i - 1未申请时：
第i时间段在(B_i)的概率：P[i]
第i时间段在(C_i)的概率：(1 - P[i])
第i - 1时间段在(B_{i - 1})的概率：1
第i - 1时间段在(C_{i - 1})的概率：0
这个转移为：

[dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + map[$B_{i - 1}$][$B_{i}$] * 1 * P[i] + map[$C_{i - 1}$][$B_{i}$] * 0 * P[i] + map[$B_{i - 1}$][$C_{i}$] * 1 * (1 - P[i]) + map[$C_{i - 1}$][$C_{i}$] * 0 * (1 - P[i])]

若从i - 1申请转来
第i时间段在(B_i)的概率：P[i]
第i时间段在(C_i)的概率：(1 - P[i])
第i - 1时间段在(B_{i - 1})的概率：P[i - 1]
第i - 1时间段在(C_{i - 1})的概率：1 - P[i - 1]
这个转移为：

[dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + map[$B_{i - 1}$][$B_{i}$] * P[i - 1] * P[i] + map[$C_{i - 1}$][$B_{i}$] * (1 - P[i - 1]) * P[i] + map[$B_{i - 1}$][$C_{i}$] * P[i - 1] * (1 - P[i]) + map[$C_{i - 1}$][$C_{i}$] * (1 - P[i - 1]) * (1 - P[i])]

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 1061109567
#define LL long long
using namespace std;
const int M = 2000 + 50;
LL map[M][M],c;
double dp[M][M][2],P[M];
int n,m,v,e;
int a,b,B[M],C[M];
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		scanf("%d",&B[i]);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		scanf("%d",&C[i]);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		scanf("%lf",&P[i]);
	}
	memset(map,0x3f,sizeof(map));
	for(int i = 1;i <= v;i ++){
		map[i][i] = 0;
	}
	for(int i = 1;i <= e;i ++){
		scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
		if(map[a][b] > c)map[a][b] = c,map[b][a] = c;
	}
	for(int k = 1;k <= v;k ++){
		for(int i = 1;i <= v;i ++){
			for(int j = 1;j <= v;j ++){
				if(map[i][j] > map[i][k] + map[k][j] && map[i][j] != INF && map[k][j] != INF)
					map[i][j] = map[i][k] + map[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i = 0;i <= n;i ++){
		for(int j = 0;j <= n;j ++)
		dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = INF;
	}
	dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0;
	for(int i = 2;i <= n;i ++){
		for(int k = min(i,m);k >= 0;k --){
			dp[i][k][0] = min(dp[i][k][0],dp[i - 1][k][0] + map[B[i - 1]][B[i]]);
			dp[i][k][0] = min(dp[i][k][0],dp[i - 1][k][1] + map[B[i - 1]][B[i]]*(1 - P[i - 1])
				+ map[C[i - 1]][B[i]]*P[i - 1]);
			//if(i >= 3 && !dp[i][k][0])printf("haha%d
",i);
			if(k >= 1){
				dp[i][k][1] = min(dp[i][k][1],dp[i - 1][k - 1][0]
											 + map[B[i - 1]][B[i]]*(1 - P[i]) + map[B[i - 1]][C[i]]*P[i]);
				dp[i][k][1] = min(dp[i][k][1],dp[i - 1][k - 1][1] + map[B[i - 1]][B[i]]*(1 - P[i - 1])*(1 - P[i])
				+ map[C[i - 1]][B[i]]*P[i - 1]*(1 - P[i]) + map[B[i - 1]][C[i]]*(1 - P[i - 1])*P[i]
				+ map[C[i - 1]][C[i]]*P[i - 1]*P[i]);
			}
		}
	}
	double ans = INF;
	for(int i = 0;i <= m;i ++){
		ans = min(ans,min(dp[n][i][0],dp[n][i][1]));
	}
	/*
	ans = 0;
	for(int i = 2;i <= n;i ++){
		ans += map[B[i - 1]][B[i]];
	}*/
	printf("%.2lf",ans);
}