高斯消元简析

想必大家都可以非常迅速的解出一个二元一次方程组，

那么三元呢（这也还好），那么再多一些未知数？

于是这里就要介绍到高斯消元的方法了...

本人蒟蒻到现在才学高斯消元，请不要介意方法过于垃圾

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首先假设你拿到了一个n元方程组，那么它应该有n个方程，每个方程有n+1个系数，

好于是我们把他们全部弄到一个n*(n+1)的矩阵中，这里简称为系数矩阵

第一步：我们先把每一行的系数都除以这一行的第一个数

第二步：从第一行到第n行分别控制x1...xn的解，因此你需要把第i行的第i列的系数化为1以此来求解方程，

第三步：在处理第i行的时候，把第i+1行到第n行的数通过加减消元法处理

   

第四步：那么求出这个答案就是最后的答案数组了，

求答案是xn的值是a[n][n+1]，然后如果求x(n-1)的值就是将xn的值代入a[n-1][n]，然后求出x(n-1)的值

于是乎 x1=-1，x2=3，x3=-6

以上就是关于高斯消元简要的介绍.

下面是两种不同题目下的高斯消元

（1） 方程保证是整数解，且系数大小均为long long 以内

注意：此处运用到简单的高精度，以及取模

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll p=1000000000000000009;
ll a[210][210],ans[210];
ll mul(ll a,ll b){return (__int128)a*b%p;}
ll inv(ll a){
    ll res=1,b=p-2;
    while (b){
        if (b&1) res=mul(res,a); b>>=1; a=mul(a,a);
    } return res;
}
ll Div(ll a,ll b){return mul(a,inv(b));}
ll read(){
    char ch[1010]; scanf("%s",ch+1);
    ll res=0,len=strlen(ch+1);
    for (int i=1;i<=len;++i){
        res=mul(res,10)+ch[i]-'0';
        if (res>p) res-=p;
    }
    return res;
}
 
 
int main() {
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lld",&a[i][j]);
        a[i][n+1]=read();
        ll res=a[i][1];
        for(int j=1;j<=n+1;j++) a[i][j]=Div(a[i][j],res);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if (a[i][i]==0) {puts("zzylihai"); return 0;}
        for(int j=i+1;j<=n+1;++j)
            a[i][j]=Div(a[i][j],a[i][i]);
        a[i][i]=1;
        for(int j=i+1;j<=n;j++) {
            for(int k=i+1;k<=n+1;k++){
                a[j][k]-=mul(a[j][i],a[i][k]);
                if (a[j][k]<0) a[j][k]+=p;
            }
            a[j][i]=0;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        ll res=a[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++) {
            res-=mul(ans[j],a[i][j]);
            if (res<0) res+=p;
        }
        ans[i]=Div(res,a[i][i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld
",ans[i]);
    return 0;
}

（2）方程为实数解，要判断是否无解

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
double a[210][210],ans[210];
int n;
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            scanf("%lf",&a[i][j]),a[i][j]*=1.00;
        double res=a[i][1];
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            a[i][j]=(double)a[i][j]/res;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if (a[i][i]==0) {puts("No solution"); return 0;}
        for(int j=i+1;j<=n+1;++j)
            a[i][j]/=a[i][i];
        a[i][i]=1;
        for(int j=i+1;j<=n;j++) {
            for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
            a[j][i]=0;
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        double res=a[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++) res-=ans[j]*a[i][j];
        ans[i]=res/a[i][i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.0lf
",ans[i]);
    return 0;
}